ЕГЭ по профильной математике 2027 Как решать задание №1 — планиметрия

Площадь параллелограмма можно вычислить как произведение любой его стороны на высоту, опущенную на эту сторону, — значение площади от выбора стороны не зависит. Возьмём меньшую сторону, равную $24$, и высоту к ней, равную $18$.

$$S=24\cdot 18=432.$$

Теперь выразим ту же площадь через большую сторону $27$ и искомую высоту $h$: $S=27h$. Подставим найденное значение площади:

$$27h=432.$$

Отсюда $h=\frac{432}{27}=16$.

Ответ: $16$.

Так как $AD$ — биссектриса угла $A$, она делит этот угол на две равные части: $\angle CAD=\angle BAD=23^{\circ }$.

Угол $ADB$ является внешним углом треугольника $ADC$ при вершине $D$ — он смежный с внутренним углом $ADC$ этого треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, поэтому

$$\angle ADB=\angle ACD+\angle CAD.$$

Подставим известные значения $\angle ACD=\angle C=54^{\circ }$ и $\angle CAD=23^{\circ }$:

$$\angle ADB=54^{\circ }+23^{\circ }=77^{\circ }.$$

Ответ: $77$.

Угол $ACB$ — вписанный в окружность: его вершина $C$ лежит на окружности, а стороны проходят через точки $A$ и $B$. Он опирается на дугу $AB$, не содержащую точку $C$. Центральный угол $AOB$ опирается на ту же дугу, поэтому по теореме о вписанном угле он в два раза больше:

$$\angle AOB=2\cdot \angle ACB=2\cdot 41^{\circ }=82^{\circ }.$$

Точки $B$, $O$, $D$ лежат на одной прямой, так как $BD$ — диаметр, значит, углы $AOB$ и $AOD$ смежные и в сумме дают $180^{\circ }$:

$$\angle AOD=180^{\circ }-82^{\circ }=98^{\circ }.$$

Ответ: $98$.