ЕГЭ по профильной математике 2027 Как решать задание №11 — текстовые задачи

Разбор — 1 балл

Обозначим скорость течения реки через $u$ км/ч, при этом $0<u<15$ (иначе теплоход не смог бы двигаться против течения). По течению теплоход плывёт со скоростью $(15+u)$ км/ч, а против течения — со скоростью $(15-u)$ км/ч.

Время, проведённое в движении, равно времени всего рейса без времени стоянки: $40-10=30$ часов. Путь в каждую сторону равен 200 км, поэтому

$$\frac{200}{15+u}+\frac{200}{15-u}=30.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{200(15-u)+200(15+u)}{(15+u)(15-u)}=30⟹\frac{200\cdot 30}{225-u^2}=30.$$

Разделим обе части на 30:

$$\frac{200}{225-u^2}=1⟹225-u^2=200⟹u^2=25.$$

Отсюда $u=5$ или $u=-5$. Скорость течения не может быть отрицательной, значит, подходит только $u=5$.

Ответ: $5$.

Разбор — 1 балл

Пусть масса первого сплава равна $x$ кг, а масса второго — $y$ кг. Тогда в первом сплаве содержится $0,2x$ кг никеля, во втором — $0,5y$ кг, а в итоговом сплаве массой 60 кг с содержанием никеля 45% его ровно $0,45\cdot 60=27$ кг.

Поскольку весь никель итогового сплава взят из первых двух, составим систему:

$$\{\begin{array}{l}x+y=60,\\ 0,2x+0,5y=27.\end{array}$$

Из первого уравнения выразим $x=60-y$ и подставим во второе:

$$0,2(60-y)+0,5y=27⟹12+0,3y=27⟹y=50.$$

Тогда $x=60-50=10$.

Масса первого сплава меньше массы второго на

$$y-x=50-10=40\text{ (кг)}.$$

Ответ: $40$.

Разбор — 1 балл

Пусть первая труба пропускает $x$ литров воды в минуту, $x>0$. По условию вторая труба пропускает на 4 литра в минуту больше, то есть $(x+4)$ литра в минуту.

Резервуар объёмом 285 литров первая труба заполняет за $\frac{285}{x}$ минут, а вторая — за $\frac{285}{x+4}$ минут. По условию первая труба работает на 4 минуты дольше второй:

$$\frac{285}{x}-\frac{285}{x+4}=4.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{285(x+4)-285x}{x(x+4)}=4⟹\frac{285\cdot 4}{x(x+4)}=4.$$

Разделим обе части на 4:

$$\frac{285}{x(x+4)}=1⟹x(x+4)=285⟹x^2+4x-285=0.$$

Найдём дискриминант: $D=4^2+4\cdot 285=16+1140=1156=34^2$. Корни уравнения:

$$x=\frac{-4\pm 34}{2}⟹x_1=15,x_2=-19.$$

Производительность трубы положительна, поэтому подходит только $x=15$.

Ответ: $15$.