ЕГЭ по профильной математике 2027 Как решать задание №12 — графики функций

Разбор — 1 балл

По свойству показательной функции $f(x)=a^x$ всегда проходит через точку $(0;1)$, так как $a^0=1$ при любом $a>0$ — это видно и на рисунке.

Чтобы найти основание $a$, воспользуемся второй отмеченной на графике точкой $(1;2)$:

$$f(1)=a^1=a=2.$$

Значит, $f(x)=2^x$. Тогда

$$f(5)=2^5=32.$$

Ответ: $32$.

Разбор — 1 балл

На рисунке график проходит через точку $(5;1)$. Подставим её координаты в формулу функции:

$$f(5)=\frac{k}{5}=1,$$

откуда $k=5$. Значит, $f(x)=\frac{5}{x}$.

Тогда

$$f(10)=\frac{5}{10}=0,5.$$

Ответ: $0,5$.

Разбор — 1 балл

Функция $f(x)=\frac{k}{x}+a$ — это гипербола $y=\frac{k}{x}$, сдвинутая на $a$ вдоль оси $Oy$. У такой гиперболы есть горизонтальная асимптота $y=a$ — прямая, к которой график приближается на бесконечности.

На рисунке горизонтальная асимптота графика — прямая $y=1$, значит, $a=1$.

На графике отмечена точка $(1;-3)$, принадлежащая графику функции $f$. Подставим её в формулу функции, чтобы найти $k$:

$$f(1)=-3,\frac{k}{1}+1=-3,k=-4.$$

Значит, функция имеет вид

$$f(x)=-\frac{4}{x}+1.$$

Найдём $x$, при котором $f(x)=0,75$:

$$-\frac{4}{x}+1=0,75,-\frac{4}{x}=-0,25,\frac{4}{x}=0,25,$$

$$x=\frac{4}{0,25}=16.$$

Ответ: $16$.