ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №9 — значение производной

Разбор — 1 балл

Если прямая $y=kx+b$ касается графика функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, то в этой точке выполняются сразу два условия: значения функции и прямой совпадают (точка общая), а производная функции равна угловому коэффициенту прямой (графики именно касаются, а не просто пересекаются):

$$\{\begin{array}{l}{x}^3+3x^2-2x+15=-5x+14,\\ {\left(x^3+3x^2-2x+15\right)}^{\prime }={\left(-5x+14\right)}^{\prime }.\end{array}$$

Перенесём все члены первого уравнения в одну сторону, а во втором найдём производные:

$$\{\begin{array}{l}{x}^3+3x^2+3x+1=0,\\ 3x^2+6x-2=-5.\end{array}$$

В левой части первого уравнения — разложение куба суммы $(x+1{)}^3=x^3+3x^2+3x+1$, а второе уравнение после переноса превращается в квадрат суммы:

$$\{\begin{array}{l}(x+1{)}^3=0,\\ 3(x+1{)}^2=0.\end{array}$$

Оба уравнения системы дают одно и то же значение:

$$x=-1.$$

Проверим: значение функции $f(-1)=(-1{)}^3+3\cdot 1-2\cdot (-1)+15=-1+3+2+15=19$, а значение прямой $-5\cdot (-1)+14=19$ — точки совпадают, касание подтверждено.

Ответ: $-1$.