Из 24 последовательных нечётных чисел 1, 3, 5, …, 47 выбрали 9 различных чисел, которые записали в порядке возрастания. Пусть — пятое по величине среди этих чисел, а — их среднее арифметическое.
a) Может ли равняться
б) Может ли равняться
в) Найдите наибольшее возможное значение
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Выбранные числа запишем по возрастанию: . Тогда , а .
а) Приведём пример. Возьмём числа
Это девять различных нечётных чисел от до , записанных по возрастанию. Пятое из них . Их сумма равна , поэтому
Значит, может.
б) Обозначим через сумму четырёх наименьших выбранных чисел, а через — сумму четырёх наибольших. Тогда сумма всех девяти чисел равна , и
Равенство означает . Но — сумма восьми нечётных чисел, то есть число чётное. Число тоже чётное. Поэтому разность чётна и не может равняться нечётному числу .
Значит, не может.
в) Оценка. По пункту б) . Оценим каждое слагаемое.
Четыре наименьших числа — различные нечётные числа, меньшие . Наибольшие такие числа — , , , , поэтому
Четыре наибольших числа — различные нечётные числа, не больше , поэтому
Кроме того, перед стоят четыре различных нечётных натуральных числа, а наименьшие из возможных — . Значит, . Получаем
откуда .
Пример. Все оценки обращаются в равенства, если взять числа
Здесь , сумма равна , поэтому и
Ответ: а) да; б) нет; в) .