Для любых трёх натуральных чисел a, b и c (необязательно различных)… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел сложная 2025 развёрнутое

Для любых трёх натуральных чисел $a, b$ и $c$ (необязательно различных) вычисляют четвертое число $d$ по формуле $d = a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - b c - a c .$

а) Существуют ли $a, b$ и $c,$ для которых $d$ равно 19?

б) Существуют ли $a, b$ и $c,$ для которых $d$ равно 58?

в) Какое наибольшее значение может принимать $d,$ если $a, b$ и $c$ — двузначные числа и $d$ делится на 4?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

а) Приведём пример: $a = 6$ , $b = 3$ , $c = 1$ . Тогда

$d = 36 + 9 + 1 - 18 - 3 - 6 = 19.$

Значит, существуют.

б) Выделим в $d$ полные квадраты. Удвоим выражение и сгруппируем слагаемые:

$2 d = (a^{2} - 2 ab + b^{2}) + (b^{2} - 2 b c + c^{2}) + (a^{2} - 2 a c + c^{2}) = (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (a - c)^{2} .$

Сделаем замену $x = a - b$ , $y = b - c$ ( $x$ , $y$ — целые числа). Тогда $a - c = x + y$ и

$2 d = x^{2} + y^{2} + (x + y)^{2} = 2 x^{2} + 2 x y + 2 y^{2}, d = x^{2} + x y + y^{2} .$

Разберём случаи по чётности $x$ и $y$ .

Если $x$ и $y$ оба чётные, $x = 2 m$ , $y = 2 k$ , то $d = 4 (m^{2} + mk + k^{2})$ делится на $4$ .

Если ровно одно из чисел $x$ , $y$ нечётно, то из $x^{2}$ и $y^{2}$ одно нечётное, другое чётное, а $x y$ чётно. Сумма $d$ нечётна.

Если $x$ и $y$ оба нечётные, то $x^{2}$ , $x y$ , $y^{2}$ — три нечётных числа, и их сумма $d$ нечётна.

Итак, $d$ либо нечётно, либо делится на $4$ . Число $58 = 4 \cdot 14 + 2$ чётно, но на $4$ не делится. Значит, таких $a$ , $b$ , $c$ не существует.

в) Выражение для $d$ не меняется при перестановке чисел $a$ , $b$ , $c$ . Поэтому можно считать, что $a ⩽ b ⩽ c$ . Обозначим $p = b - a ⩾ 0$ , $q = c - b ⩾ 0$ , $m = c - a = p + q$ . По формуле из пункта б)

$2 d = p^{2} + q^{2} + m^{2} = (p + q)^{2} - 2 pq + m^{2} = 2 m^{2} - 2 pq, d = m^{2} - pq .$

Так как $pq ⩾ 0$ , всегда $d ⩽ m^{2}$ , а равенство будет при $p = 0$ или $q = 0$ , то есть при $b = a$ или $b = c$ .

Оценка. Числа двузначные, поэтому $a ⩾ 10$ , $c ⩽ 99$ и $m ⩽ 89$ .

Пусть $m = 89$ . Тогда $p + q = 89$ — нечётное число, значит, одно из чисел $p$ , $q$ чётно, и $pq$ чётно. Число $8 9^{2} = 7921$ нечётно, поэтому $d = 7921 - pq$ нечётно и на $4$ не делится. Значит, $m = 89$ невозможно.

Пусть $m ⩽ 88$ . Тогда $d ⩽ m^{2} ⩽ 8 8^{2} = 7744$ .

Итак, если $d$ делится на $4$ , то $d ⩽ 7744$ .

Пример. $a = 10$ , $b = 10$ , $c = 98$ (здесь $p = 0$ , $m = 88$ ):

$d = 100 + 100 + 9604 - 100 - 980 - 980 = 7744 = 8 8^{2} .$

Число $7744 = 4 \cdot 1936$ делится на $4$ , а все три числа двузначные.

Ответ: а) да; б) нет; в) $7744$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20