В каждой клетке квадратной таблицы 6×6 стоит натуральное число… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел средняя 2017 развёрнутое

В каждой клетке квадратной таблицы $6 \times 6$ стоит натуральное число, меньшее 7. Вася в каждом столбце находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел. Петя в каждой строке находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел.

а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи?

б) Может ли сумма у Пети получиться в шесть раз больше, чем сумма у Васи?

в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Обозначим сумму Васи через $V$ (по столбцам), а сумму Пети через $P$ (по строкам). Все числа таблицы — от $1$ до $6$ .

а) Приведём пример. Первая строка состоит из шестёрок, вторая — из двоек, остальные четыре — из единиц:

$621111621111621111621111621111621111$

В каждом столбце есть единица, поэтому все минимумы по столбцам равны $1$ и $V = 6$ . Минимумы по строкам равны $6, 2, 1, 1, 1, 1$ , поэтому $P = 12 = 2 V$ .

Значит, может.

б) Каждое число таблицы не меньше $1$ , поэтому каждый минимум по столбцу не меньше $1$ и $V ⩾ 6$ . Каждое число не больше $6$ , поэтому каждый минимум по строке не больше $6$ и $P ⩽ 36$ .

Пусть $P = 6 V$ . Тогда $P ⩾ 6 \cdot 6 = 36$ , а значит, $P = 36$ и $V = 6$ . Равенство $P = 36$ возможно, только если минимум каждой строки равен $6$ , то есть все числа таблицы равны $6$ . Но тогда и минимумы по столбцам равны $6$ , и $V = 36 \neq = 6$ . Противоречие.

Значит, не может.

в) Оценка. Пусть $x$ — наименьшее число в таблице. В каждом столбце минимум не меньше $x$ , поэтому $V ⩾ 6 x$ . В строке, где стоит $x$ , минимум равен $x$ , а минимумы остальных пяти строк не больше $6$ . Поэтому $P ⩽ x + 30$ . Получаем

$\frac{P}{V} ⩽ \frac{x + 30}{6 x} = \frac{1}{6} + \frac{5}{x} ⩽ \frac{1}{6} + 5 = \frac{31}{6},$

так как $x ⩾ 1$ .

Пример. Пять строк из шестёрок и одна строка из единиц:

$666661666661666661666661666661666661$

Каждый столбец содержит единицу, поэтому $V = 6$ . Минимумы строк — пять шестёрок и единица, поэтому $P = 31$ . Отношение $\frac{P}{V} = \frac{31}{6}$ .

Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac{31}{6}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20