ЕГЭ по профильной математике 2027 Как решать задание №19 — параметр

Разбор — 4 балла

Уравнение вида $\sqrt{f}=\sqrt{g}$ равносильно системе $f=g$, $f⩾0$. Если подкоренные выражения равны и одно из них неотрицательно, то неотрицательно и второе, и корни из них равны. Проверять второе неравенство не нужно. Поэтому исходное уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-a^2=4x^2-(4a+1)x+a,\\ x^2-a^2⩾0.\end{array}$$

Преобразуем уравнение системы. В правой части раскроем скобки и сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить множитель $x-a$:

$$4x^2-(4a+1)x+a=4x^2-4ax-x+a=4x(x-a)-(x-a)=(x-a)(4x-1).$$

Левую часть разложим по формуле разности квадратов: $x^2-a^2=(x-a)(x+a)$. Получаем

$$(x-a)(x+a)=(x-a)(4x-1);$$

$$(x-a)(x+a)-(x-a)(4x-1)=0;$$

$$(x-a)(a+1-3x)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, поэтому

$$[\begin{array}{l}x=a,\\ x=\frac{a+1}{3}.\end{array}$$

Каждое из этих чисел — корень исходного уравнения тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет неравенству системы $(x-a)(x+a)⩾0$. Разберём оба числа по отдельности: выясним, когда число является корнем и при этом лежит на отрезке $[0;1]$.

Число $x_1=a$. Подставим его в неравенство: $(a-a)(a+a)=0⩾0$ — верно при любом $a$. Значит, $x_1=a$ — корень уравнения при каждом $a$. На отрезке $[0;1]$ он лежит при $0⩽a⩽1$.

Число $x_2=\frac{a+1}{3}$. Подставим его в неравенство:

$$\left(\frac{a+1}{3}-a\right)\left(\frac{a+1}{3}+a\right)⩾0;$$

$$\frac{1-2a}{3}\cdot \frac{4a+1}{3}⩾0;$$

$$(1-2a)(4a+1)⩾0.$$

Множители обращаются в нуль при $a=\frac{1}{2}$ и $a=-\frac{1}{4}$. Решим неравенство методом интервалов: при больших $a$ первый множитель отрицателен, а второй положителен, поэтому на правом интервале знак «минус», дальше знаки чередуются.

Значит, $x_2$ — корень уравнения при $-\frac{1}{4}⩽a⩽\frac{1}{2}$.

Теперь потребуем, чтобы $x_2$ лежал на отрезке $[0;1]$:

$$0⩽\frac{a+1}{3}⩽1\iff 0⩽a+1⩽3\iff -1⩽a⩽2.$$

Отрезок $\left[-\frac{1}{4};\frac{1}{2}\right]$ целиком лежит внутри $[-1;2]$. Поэтому $x_2$ — корень уравнения, лежащий на отрезке $[0;1]$, ровно при $-\frac{1}{4}⩽a⩽\frac{1}{2}$.

Совпадение корней. Числа $x_1$ и $x_2$ равны, если

$$a=\frac{a+1}{3};3a=a+1;a=\frac{1}{2}.$$

При $a=\frac{1}{2}$ оба числа равны $\frac{1}{2}$: это один корень, а не два.

Картину удобно увидеть на плоскости $(x;a)$. Корень $x_1=a$ — это прямая $a=x$, корень $x_2$ — прямая $a=3x-1$. От них оставляем части, где выполнено неравенство $(x-a)(x+a)⩾0$, то есть $|a|⩽|x|$, и где $0⩽x⩽1$. Число корней на отрезке при данном $a$ равно числу точек этого множества на горизонтальной прямой, проведённой на высоте $a$.

Сведём всё вместе, двигаясь по $a$ снизу вверх.

При $a<-\frac{1}{4}$ число $x_1=a$ отрицательно, а $x_2$ не является корнем. Корней на отрезке нет.

При $-\frac{1}{4}⩽a<0$ число $x_1=a$ не попадает на отрезок, а $x_2$ — корень, лежащий на отрезке. Корень ровно один — подходит.

При $0⩽a<\frac{1}{2}$ оба числа — корни, лежащие на отрезке, и они различны. Корней два — не подходит.

При $a=\frac{1}{2}$ корни совпадают: $x=\frac{1}{2}$. Корень ровно один — подходит.

При $\frac{1}{2}<a⩽1$ число $x_1=a$ лежит на отрезке, а $x_2$ корнем не является. Корень ровно один — подходит.

При $a>1$ число $x_1=a$ больше $1$, а $x_2$ корнем не является. Корней на отрезке нет.

Объединим подходящие значения параметра:

Ответ: $a\in \left[-\frac{1}{4};0\right)\cup \left[\frac{1}{2};1\right]$.

Разбор — 4 балла

Решим задачу графически. Будем считать $a$ второй переменной и изобразим на координатной плоскости $(x;a)$ множество всех пар $(x;a)$, удовлетворяющих уравнению. При фиксированном $a$ корни уравнения — это абсциссы точек, в которых горизонтальная прямая на высоте $a$ пересекает это множество. Значит, нужно найти все $a$, при которых такая прямая имеет с множеством ровно две общие точки.

Раскроем модуль. Знак выражения $7x-a$ определяет прямая $a=7x$: на ней и ниже неё $7x-a⩾0$, выше неё $7x-a<0$.

Случай 1: $a⩽7x$. Тогда $|7x-a|=7x-a$, и уравнение принимает вид

$$x^2+a^2-x-7a=7x-a;x^2-8x+a^2-6a=0.$$

Выделим полные квадраты: $x^2-8x=(x-4{)}^2-16$, $a^2-6a=(a-3{)}^2-9$. Получаем

$$(x-4{)}^2+(a-3{)}^2=25.$$

Это окружность ${\omega }_1$ с центром $(4;3)$ и радиусом $5$. Из неё берём только точки, лежащие на прямой $a=7x$ или ниже неё.

Случай 2: $a>7x$. Тогда $|7x-a|=a-7x$, и

$$x^2+a^2-x-7a=a-7x;x^2+6x+a^2-8a=0;(x+3{)}^2+(a-4{)}^2=25.$$

Это окружность ${\omega }_2$ с центром $(-3;4)$ и радиусом $5$. Из неё берём точки, лежащие строго выше прямой $a=7x$.

Найдём, где окружности пересекают прямую $a=7x$. Подставим $a=7x$ в уравнение $x^2-8x+a^2-6a=0$:

$$x^2-8x+49x^2-42x=0;50x^2-50x=0;x=0\text{или}x=1.$$

Для второй окружности: $x^2+6x+49x^2-56x=0$, то есть тоже $50x(x-1)=0$. Значит, обе окружности проходят через точки $O(0;0)$ и $B(1;7)$, и отрезок $OB$ — общая хорда. Прямая $a=7x$ делит каждую окружность на две дуги.

Выясним, какие дуги остаются. Хорда делит окружность на две дуги, и большая из них лежит по ту же сторону от хорды, что и центр. Центр $(4;3)$ окружности ${\omega }_1$ лежит ниже прямой $a=7x$, так как $3<7\cdot 4$. Поэтому от ${\omega }_1$ остаётся большая дуга $OB$. Она проходит через нижнюю точку окружности $(4;-2)$, правую точку $(9;3)$ и верхнюю точку $(4;8)$. Центр $(-3;4)$ окружности ${\omega }_2$ лежит выше прямой: $4>7\cdot (-3)$. От ${\omega }_2$ тоже остаётся большая дуга $OB$, через точки $(-3;-1)$, $(-8;4)$ и $(-3;9)$. Её концы $O$ и $B$ во второй случай не входят, но они уже есть на первой дуге.

Множество решений — две большие дуги, соединённые в точках $O$ и $B$. Будем двигать горизонтальную прямую $a=\mathrm{const}$ снизу вверх. Число общих точек меняется в граничных положениях. Это прямые через нижние и верхние точки дуг ($a=-2$, $a=-1$, $a=8$, $a=9$) и через концы дуг $O$ и $B$ ($a=0$ и $a=7$). На рисунке по вертикальной оси отложено $a$, граничные положения показаны пунктиром, тонкая прямая — $a=7x$.

Обоснуем, сколько точек каждой дуги лежит на прямой $a=c$. Горизонтальная прямая пересекает прямую $a=7x$ в точке $M\left(\frac{c}{7};c\right)$.

Если $0<c<7$, точка $M$ лежит внутри хорды $OB$, а значит, внутри обеих окружностей. Тогда из двух точек пересечения прямой $a=c$ с окружностью одна лежит левее $M$, другая правее. У ${\omega }_1$ остаётся только правая точка (там $7x>c$), у ${\omega }_2$ — только левая (там $7x<c$). Всего две точки.

Если $c<0$ или $c>7$, точка $M$ лежит на прямой $a=7x$ вне хорды, то есть вне окружностей. Обе точки пересечения с окружностью лежат по одну сторону от $M$. У ${\omega }_1$ правая точка имеет абсциссу не меньше $4>\frac{c}{7}$, значит, обе точки лежат правее $M$ и обе входят в первую дугу. У ${\omega }_2$ левая точка имеет абсциссу не больше $-3<\frac{c}{7}$, значит, обе точки лежат левее $M$ и обе входят во вторую дугу.

Теперь посчитаем корни.

При $a<-2$ и при $a>9$ прямая не пересекает дуги — корней нет.

При $a=-2$ прямая касается первой дуги в точке $(4;-2)$ — один корень.

При $-2<a<-1$ прямая пересекает только первую дугу, в двух точках — два корня.

При $a=-1$ две точки первой дуги и точка касания $(-3;-1)$ второй — три корня.

При $-1<a<0$ по две точки на каждой дуге — четыре корня.

При $a=0$ точки $(0;0)$ и $(8;0)$ первой дуги и точка $(-6;0)$ второй — три корня.

При $0<a<7$ по одной точке на каждой дуге — два корня.

При $a=7$ точки $(1;7)$ и $(7;7)$ первой дуги и точка $(-7;7)$ второй — три корня.

При $7<a<8$ по две точки на каждой дуге — четыре корня.

При $a=8$ точка касания $(4;8)$ первой дуги и точки $(0;8)$ и $(-6;8)$ второй — три корня.

При $8<a<9$ прямая пересекает только вторую дугу, в двух точках — два корня.

При $a=9$ прямая касается второй дуги в точке $(-3;9)$ — один корень.

Точки разных дуг не совпадают: они лежат по разные стороны от прямой $a=7x$, кроме общих концов $O$ и $B$, которые мы посчитали один раз.

Ответ: $a\in (-2;-1)\cup (0;7)\cup (8;9)$.

Разбор — 4 балла

Перенесём слагаемые $-2x^2-10x$ в левую часть:

$$\left|2x^2-7x-4\right|+2x^2+10x=a.$$

Обозначим $f(x)=\left|2x^2-7x-4\right|+2x^2+10x$. Будем рассматривать $a$ как вторую переменную и построим график $a=f(x)$ на плоскости $(x;a)$. Корни уравнения при данном $a$ — это абсциссы точек пересечения графика с горизонтальной прямой на высоте $a$. Уравнение не имеет решений или имеет единственное решение ровно тогда, когда эта прямая не пересекает график или пересекает его в одной точке.

Найдём нули подмодульного выражения:

$$2x^2-7x-4=0;D=(-7{)}^2-4\cdot 2\cdot (-4)=81;x=\frac{7\pm 9}{4};x_1=4,x_2=-\frac{1}{2}.$$

Ветви параболы $y=2x^2-7x-4$ направлены вверх, поэтому выражение отрицательно между корнями и неотрицательно вне их:

Раскроем модуль на каждом промежутке.

При $x⩽-\frac{1}{2}$ и при $x⩾4$ модуль раскрывается со знаком «плюс»:

$$f(x)=2x^2-7x-4+2x^2+10x=4x^2+3x-4.$$

При $-\frac{1}{2}<x<4$ модуль раскрывается со знаком «минус»:

$$f(x)=-2x^2+7x+4+2x^2+10x=17x+4.$$

Исследуем, как ведёт себя $f$ на каждом куске. Парабола $a=4x^2+3x-4$ направлена ветвями вверх, абсцисса её вершины $x_0=-\frac{3}{2\cdot 4}=-\frac{3}{8}$. Так как $-\frac{1}{2}<-\frac{3}{8}$, весь луч $x⩽-\frac{1}{2}$ лежит левее вершины, и на нём функция убывает. Луч $x⩾4$ лежит правее вершины, на нём функция возрастает. Линейная функция $17x+4$ возрастает.

Найдём значения в точках стыка:

$$f\left(-\frac{1}{2}\right)=4\cdot \frac{1}{4}-\frac{3}{2}-4=-\frac{9}{2},17\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+4=-\frac{9}{2};$$

$$f(4)=4\cdot 16+12-4=72,17\cdot 4+4=72.$$

Значения кусков в точках стыка совпадают, поэтому $f$ непрерывна. Итак, на $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right]$ функция убывает от $+\infty$ до $-\frac{9}{2}$, а на $\left[-\frac{1}{2};+\infty \right)$ возрастает от $-\frac{9}{2}$ до $+\infty$. Наименьшее значение $-\frac{9}{2}$ она принимает в единственной точке $x=-\frac{1}{2}$.

Изобразим график. Пунктиром показана прямая через точку минимума, тонкой линией — прямая выше неё, например $a=6$.

Рассмотрим возможные положения горизонтальной прямой.

При $a<-\frac{9}{2}$ прямая проходит ниже наименьшего значения функции и не пересекает график — решений нет. Такие $a$ подходят.

При $a=-\frac{9}{2}$ прямая проходит через точку минимума $\left(-\frac{1}{2};-\frac{9}{2}\right)$ и других общих точек с графиком не имеет — решение единственное, $x=-\frac{1}{2}$. Проверка: $\left|\frac{1}{2}+\frac{7}{2}-4\right|=0$ и $-\frac{9}{2}-\frac{1}{2}+5=0$. Это значение подходит.

При $a>-\frac{9}{2}$ непрерывная функция принимает значение $a$ ровно один раз на убывающем куске и ровно один раз на возрастающем. Например, при $a=6$ это точки $x=-2$ и $x=\frac{2}{17}$. Решений два — не подходит.

Ответ: $a\in \left(-\infty ;-\frac{9}{2}\right]$.