ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Уравнение вида $\sqrt{f}=\sqrt{g}$ равносильно системе $f=g$, $f⩾0$. Если подкоренные выражения равны и одно из них неотрицательно, то неотрицательно и второе, и корни из них равны. Проверять второе неравенство не нужно. Поэтому исходное уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-a^2=4x^2-(4a+1)x+a,\\ x^2-a^2⩾0.\end{array}$$

Преобразуем уравнение системы. В правой части раскроем скобки и сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить множитель $x-a$:

$$4x^2-(4a+1)x+a=4x^2-4ax-x+a=4x(x-a)-(x-a)=(x-a)(4x-1).$$

Левую часть разложим по формуле разности квадратов: $x^2-a^2=(x-a)(x+a)$. Получаем

$$(x-a)(x+a)=(x-a)(4x-1);$$

$$(x-a)(x+a)-(x-a)(4x-1)=0;$$

$$(x-a)(a+1-3x)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, поэтому

$$[\begin{array}{l}x=a,\\ x=\frac{a+1}{3}.\end{array}$$

Каждое из этих чисел — корень исходного уравнения тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет неравенству системы $(x-a)(x+a)⩾0$. Разберём оба числа по отдельности: выясним, когда число является корнем и при этом лежит на отрезке $[0;1]$.

Число $x_1=a$. Подставим его в неравенство: $(a-a)(a+a)=0⩾0$ — верно при любом $a$. Значит, $x_1=a$ — корень уравнения при каждом $a$. На отрезке $[0;1]$ он лежит при $0⩽a⩽1$.

Число $x_2=\frac{a+1}{3}$. Подставим его в неравенство:

$$\left(\frac{a+1}{3}-a\right)\left(\frac{a+1}{3}+a\right)⩾0;$$

$$\frac{1-2a}{3}\cdot \frac{4a+1}{3}⩾0;$$

$$(1-2a)(4a+1)⩾0.$$

Множители обращаются в нуль при $a=\frac{1}{2}$ и $a=-\frac{1}{4}$. Решим неравенство методом интервалов: при больших $a$ первый множитель отрицателен, а второй положителен, поэтому на правом интервале знак «минус», дальше знаки чередуются.

Значит, $x_2$ — корень уравнения при $-\frac{1}{4}⩽a⩽\frac{1}{2}$.

Теперь потребуем, чтобы $x_2$ лежал на отрезке $[0;1]$:

$$0⩽\frac{a+1}{3}⩽1\iff 0⩽a+1⩽3\iff -1⩽a⩽2.$$

Отрезок $\left[-\frac{1}{4};\frac{1}{2}\right]$ целиком лежит внутри $[-1;2]$. Поэтому $x_2$ — корень уравнения, лежащий на отрезке $[0;1]$, ровно при $-\frac{1}{4}⩽a⩽\frac{1}{2}$.

Совпадение корней. Числа $x_1$ и $x_2$ равны, если

$$a=\frac{a+1}{3};3a=a+1;a=\frac{1}{2}.$$

При $a=\frac{1}{2}$ оба числа равны $\frac{1}{2}$: это один корень, а не два.

Картину удобно увидеть на плоскости $(x;a)$. Корень $x_1=a$ — это прямая $a=x$, корень $x_2$ — прямая $a=3x-1$. От них оставляем части, где выполнено неравенство $(x-a)(x+a)⩾0$, то есть $|a|⩽|x|$, и где $0⩽x⩽1$. Число корней на отрезке при данном $a$ равно числу точек этого множества на горизонтальной прямой, проведённой на высоте $a$.

Сведём всё вместе, двигаясь по $a$ снизу вверх.

При $a<-\frac{1}{4}$ число $x_1=a$ отрицательно, а $x_2$ не является корнем. Корней на отрезке нет.

При $-\frac{1}{4}⩽a<0$ число $x_1=a$ не попадает на отрезок, а $x_2$ — корень, лежащий на отрезке. Корень ровно один — подходит.

При $0⩽a<\frac{1}{2}$ оба числа — корни, лежащие на отрезке, и они различны. Корней два — не подходит.

При $a=\frac{1}{2}$ корни совпадают: $x=\frac{1}{2}$. Корень ровно один — подходит.

При $\frac{1}{2}<a⩽1$ число $x_1=a$ лежит на отрезке, а $x_2$ корнем не является. Корень ровно один — подходит.

При $a>1$ число $x_1=a$ больше $1$, а $x_2$ корнем не является. Корней на отрезке нет.

Объединим подходящие значения параметра:

Ответ: $a\in \left[-\frac{1}{4};0\right)\cup \left[\frac{1}{2};1\right]$.