Найдите все значения при каждом из которых уравнение
либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Перенесём слагаемые в левую часть:
Обозначим . Будем рассматривать как вторую переменную и построим график на плоскости . Корни уравнения при данном — это абсциссы точек пересечения графика с горизонтальной прямой на высоте . Уравнение не имеет решений или имеет единственное решение ровно тогда, когда эта прямая не пересекает график или пересекает его в одной точке.
Найдём нули подмодульного выражения:
Ветви параболы направлены вверх, поэтому выражение отрицательно между корнями и неотрицательно вне их:
Раскроем модуль на каждом промежутке.
При и при модуль раскрывается со знаком «плюс»:
При модуль раскрывается со знаком «минус»:
Исследуем, как ведёт себя на каждом куске. Парабола направлена ветвями вверх, абсцисса её вершины . Так как , весь луч лежит левее вершины, и на нём функция убывает. Луч лежит правее вершины, на нём функция возрастает. Линейная функция возрастает.
Найдём значения в точках стыка:
Значения кусков в точках стыка совпадают, поэтому непрерывна. Итак, на функция убывает от до , а на возрастает от до . Наименьшее значение она принимает в единственной точке .
Изобразим график. Пунктиром показана прямая через точку минимума, тонкой линией — прямая выше неё, например .
Рассмотрим возможные положения горизонтальной прямой.
При прямая проходит ниже наименьшего значения функции и не пересекает график — решений нет. Такие подходят.
При прямая проходит через точку минимума и других общих точек с графиком не имеет — решение единственное, . Проверка: и . Это значение подходит.
При непрерывная функция принимает значение ровно один раз на убывающем куске и ровно один раз на возрастающем. Например, при это точки и . Решений два — не подходит.
Ответ: .