ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Решим задачу графически. Будем считать $a$ второй переменной и изобразим на координатной плоскости $(x;a)$ множество всех пар $(x;a)$, удовлетворяющих уравнению. При фиксированном $a$ корни уравнения — это абсциссы точек, в которых горизонтальная прямая на высоте $a$ пересекает это множество. Значит, нужно найти все $a$, при которых такая прямая имеет с множеством ровно две общие точки.

Раскроем модуль. Знак выражения $7x-a$ определяет прямая $a=7x$: на ней и ниже неё $7x-a⩾0$, выше неё $7x-a<0$.

Случай 1: $a⩽7x$. Тогда $|7x-a|=7x-a$, и уравнение принимает вид

$$x^2+a^2-x-7a=7x-a;x^2-8x+a^2-6a=0.$$

Выделим полные квадраты: $x^2-8x=(x-4{)}^2-16$, $a^2-6a=(a-3{)}^2-9$. Получаем

$$(x-4{)}^2+(a-3{)}^2=25.$$

Это окружность ${\omega }_1$ с центром $(4;3)$ и радиусом $5$. Из неё берём только точки, лежащие на прямой $a=7x$ или ниже неё.

Случай 2: $a>7x$. Тогда $|7x-a|=a-7x$, и

$$x^2+a^2-x-7a=a-7x;x^2+6x+a^2-8a=0;(x+3{)}^2+(a-4{)}^2=25.$$

Это окружность ${\omega }_2$ с центром $(-3;4)$ и радиусом $5$. Из неё берём точки, лежащие строго выше прямой $a=7x$.

Найдём, где окружности пересекают прямую $a=7x$. Подставим $a=7x$ в уравнение $x^2-8x+a^2-6a=0$:

$$x^2-8x+49x^2-42x=0;50x^2-50x=0;x=0\text{или}x=1.$$

Для второй окружности: $x^2+6x+49x^2-56x=0$, то есть тоже $50x(x-1)=0$. Значит, обе окружности проходят через точки $O(0;0)$ и $B(1;7)$, и отрезок $OB$ — общая хорда. Прямая $a=7x$ делит каждую окружность на две дуги.

Выясним, какие дуги остаются. Хорда делит окружность на две дуги, и большая из них лежит по ту же сторону от хорды, что и центр. Центр $(4;3)$ окружности ${\omega }_1$ лежит ниже прямой $a=7x$, так как $3<7\cdot 4$. Поэтому от ${\omega }_1$ остаётся большая дуга $OB$. Она проходит через нижнюю точку окружности $(4;-2)$, правую точку $(9;3)$ и верхнюю точку $(4;8)$. Центр $(-3;4)$ окружности ${\omega }_2$ лежит выше прямой: $4>7\cdot (-3)$. От ${\omega }_2$ тоже остаётся большая дуга $OB$, через точки $(-3;-1)$, $(-8;4)$ и $(-3;9)$. Её концы $O$ и $B$ во второй случай не входят, но они уже есть на первой дуге.

Множество решений — две большие дуги, соединённые в точках $O$ и $B$. Будем двигать горизонтальную прямую $a=\mathrm{const}$ снизу вверх. Число общих точек меняется в граничных положениях. Это прямые через нижние и верхние точки дуг ($a=-2$, $a=-1$, $a=8$, $a=9$) и через концы дуг $O$ и $B$ ($a=0$ и $a=7$). На рисунке по вертикальной оси отложено $a$, граничные положения показаны пунктиром, тонкая прямая — $a=7x$.

Обоснуем, сколько точек каждой дуги лежит на прямой $a=c$. Горизонтальная прямая пересекает прямую $a=7x$ в точке $M\left(\frac{c}{7};c\right)$.

Если $0<c<7$, точка $M$ лежит внутри хорды $OB$, а значит, внутри обеих окружностей. Тогда из двух точек пересечения прямой $a=c$ с окружностью одна лежит левее $M$, другая правее. У ${\omega }_1$ остаётся только правая точка (там $7x>c$), у ${\omega }_2$ — только левая (там $7x<c$). Всего две точки.

Если $c<0$ или $c>7$, точка $M$ лежит на прямой $a=7x$ вне хорды, то есть вне окружностей. Обе точки пересечения с окружностью лежат по одну сторону от $M$. У ${\omega }_1$ правая точка имеет абсциссу не меньше $4>\frac{c}{7}$, значит, обе точки лежат правее $M$ и обе входят в первую дугу. У ${\omega }_2$ левая точка имеет абсциссу не больше $-3<\frac{c}{7}$, значит, обе точки лежат левее $M$ и обе входят во вторую дугу.

Теперь посчитаем корни.

При $a<-2$ и при $a>9$ прямая не пересекает дуги — корней нет.

При $a=-2$ прямая касается первой дуги в точке $(4;-2)$ — один корень.

При $-2<a<-1$ прямая пересекает только первую дугу, в двух точках — два корня.

При $a=-1$ две точки первой дуги и точка касания $(-3;-1)$ второй — три корня.

При $-1<a<0$ по две точки на каждой дуге — четыре корня.

При $a=0$ точки $(0;0)$ и $(8;0)$ первой дуги и точка $(-6;0)$ второй — три корня.

При $0<a<7$ по одной точке на каждой дуге — два корня.

При $a=7$ точки $(1;7)$ и $(7;7)$ первой дуги и точка $(-7;7)$ второй — три корня.

При $7<a<8$ по две точки на каждой дуге — четыре корня.

При $a=8$ точка касания $(4;8)$ первой дуги и точки $(0;8)$ и $(-6;8)$ второй — три корня.

При $8<a<9$ прямая пересекает только вторую дугу, в двух точках — два корня.

При $a=9$ прямая касается второй дуги в точке $(-3;9)$ — один корень.

Точки разных дуг не совпадают: они лежат по разные стороны от прямой $a=7x$, кроме общих концов $O$ и $B$, которые мы посчитали один раз.

Ответ: $a\in (-2;-1)\cup (0;7)\cup (8;9)$.