ЕГЭ по профильной математике 2027 Как решать задание №16 — неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны, знаменатель не должен обращаться в ноль:

$$\{\begin{array}{l}3x+25>0,\\ x+7>0,\\ x^4-81\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>-\frac{25}{3},\\ x>-7,\\ x\ne \pm 3.\end{array}$$

Так как $-\frac{25}{3}<-\frac{21}{3}=-7$, из $x>-7$ следует и $x>-\frac{25}{3}$. Поэтому ОДЗ: $x>-7$, $x\ne \pm 3$.

Разложим знаменатель на множители, дважды применив формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$$x^4-81=\left(x^2-9\right)\left(x^2+9\right)=(x-3)(x+3)\left(x^2+9\right).$$

Множитель $x^2+9⩾9>0$ при любом $x$. Умножим обе части неравенства на это положительное число — знак неравенства сохранится:

$$\frac{{\log }_3(3x+25)-{\log }_{\sqrt{3}}(x+7)}{(x-3)(x+3)}⩾0.$$

Приведём логарифмы к одному основанию. По свойствам ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$ и $k{\log }_{a}b={\log }_a{b}^k$ (при $b>0$):

$${\log }_{\sqrt{3}}(x+7)={\log }_{3^{\frac{1}{2}}}(x+7)=2{\log }_3(x+7)={\log }_3(x+7{)}^2.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{{\log }_3(3x+25)-{\log }_3(x+7{)}^2}{(x-3)(x+3)}⩾0.$$

Функция $y={\log }_{3}t$ возрастает, так как основание $3>1$. Поэтому при $u>0$, $v>0$ разность ${\log }_{3}u-{\log }_{3}v$ имеет тот же знак, что и разность $u-v$: она положительна при $u>v$, равна нулю при $u=v$ и отрицательна при $u<v$. На ОДЗ заменим числитель на выражение того же знака (метод рационализации) — получим равносильное на ОДЗ неравенство:

$$\frac{3x+25-(x+7{)}^2}{(x-3)(x+3)}⩾0.$$

Раскроем квадрат суммы и упростим числитель:

$$3x+25-\left(x^2+14x+49\right)=-x^2-11x-24=-\left(x^2+11x+24\right).$$

Корни трёхчлена $x^2+11x+24$ найдём по теореме, обратной теореме Виета: их сумма равна $-11$, произведение равно $24$. Подходят числа $-8$ и $-3$. Значит,

$$x^2+11x+24=(x+3)(x+8),$$

и неравенство принимает вид

$$\frac{-(x+3)(x+8)}{(x-3)(x+3)}⩾0.$$

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$$\frac{(x+3)(x+8)}{(x-3)(x+3)}⩽0.$$

Решим его методом интервалов. Нули числителя: $x=-8$ и $x=-3$; нули знаменателя: $x=-3$ и $x=3$. Неравенство нестрогое, поэтому нуль числителя $-8$ закрашиваем, а нули знаменателя выкалываем. Точка $-3$ — нуль и числителя, и знаменателя, при $x=-3$ дробь не определена, поэтому её тоже выкалываем.

При $x>3$ все множители положительны, дробь положительна. При переходе через $3$ и $-8$ знак меняется. Множитель $x+3$ входит в дробь дважды (в числитель и в знаменатель), поэтому при переходе через $-3$ знак не меняется.

Получаем $x\in [-8;-3)\cup (-3;3)$.

Пересечём это множество с ОДЗ: точки $\pm 3$ уже выколоты, остаётся учесть условие $x>-7$. Так как $-8<-7$, от промежутка $[-8;-3)$ остаётся $(-7;-3)$, а промежуток $(-3;3)$ входит в ОДЗ целиком.

Ответ: $(-7;-3)\cup (-3;3)$.

Разбор — 2 балла

Знаменатели не должны обращаться в ноль: $3^x\ne 5$ и $3^x\ne 9$, то есть $x\ne {\log }_{3}5$ и $x\ne 2$.

Сделаем замену $t=3^x$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$. Кроме того, $9^x={\left(3^2\right)}^x={\left(3^x\right)}^2=t^2$. Неравенство примет вид

$$\frac{t^2-6t+4}{t-5}+\frac{6t-51}{t-9}⩽t+5,t>0,t\ne 5,t\ne 9.$$

Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём их к общему знаменателю $(t-5)(t-9)$:

$$\frac{\left(t^2-6t+4\right)(t-9)+(6t-51)(t-5)-(t+5)(t-5)(t-9)}{(t-5)(t-9)}⩽0.$$

Раскроем скобки в числителе по отдельности:

$$\left(t^2-6t+4\right)(t-9)=t^3-9t^2-6t^2+54t+4t-36=t^3-15t^2+58t-36,$$

$$(6t-51)(t-5)=6t^2-30t-51t+255=6t^2-81t+255.$$

В последнем произведении сначала применим формулу разности квадратов $(t+5)(t-5)=t^2-25$:

$$(t+5)(t-5)(t-9)=\left(t^2-25\right)(t-9)=t^3-9t^2-25t+225.$$

Сложим первые два выражения и вычтем третье:

$$t^3-15t^2+58t-36+6t^2-81t+255-t^3+9t^2+25t-225=2t-6=2(t-3).$$

Слагаемые с $t^3$ и $t^2$ взаимно уничтожились, и неравенство стало гораздо проще:

$$\frac{2(t-3)}{(t-5)(t-9)}⩽0.$$

Решим его методом интервалов. Нуль числителя $t=3$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нули знаменателя $t=5$ и $t=9$ выкалываем. При $t>9$ все множители положительны, дробь положительна; при переходе через каждую из точек знак меняется.

Получаем $t⩽3$ или $5<t<9$. С учётом условия $t>0$:

$$[\begin{array}{l}0<t⩽3,\\ 5<t<9.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Условие $3^x>0$ выполнено при всех $x$. Представим числа в виде степеней тройки: $3=3^1$, $9=3^2$, $5=3^{{\log }_{3}5}$. Функция $y=3^x$ возрастает, так как $3>1$, поэтому знаки неравенств сохраняются:

$$[\begin{array}{l}{3}^x⩽3^1,\\ 3^{{\log }_{3}5}<3^x<3^2\end{array}\iff [\begin{array}{l}x⩽1,\\ {\log }_{3}5<x<2.\end{array}$$

Сравним числа: из $3<5<9$ следует $1<{\log }_{3}5<2$, поэтому промежутки не пересекаются и расположены так:

Ответ: $(-\infty ;1]\cup \left({\log }_{3}5;2\right)$.

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов положительны, знаменатель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-5x>0,\\ x^2>0,\\ {\log }_5{x}^2\ne 0.\end{array}$$

Первое условие: $x(x-5)>0$. Это квадратичное неравенство, ветви параболы направлены вверх, корни $0$ и $5$, поэтому $x<0$ или $x>5$. Второе условие: $x\ne 0$. Третье: ${\log }_5{x}^2\ne 0={\log }_{5}1$, то есть $x^2\ne 1$, $x\ne \pm 1$. Итак,

$$x\in (-\infty ;-1)\cup (-1;0)\cup (5;+\infty ).$$

Перейдём к новому основанию по формуле $\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_{a}c}={\log }_{c}b$, которая верна при $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$, $c>0$, $c\ne 1$. На ОДЗ $c=x^2>0$, $x^2\ne 1$ и $b=x^2-5x>0$, поэтому

$$\frac{2{\log }_5\left(x^2-5x\right)}{{\log }_5{x}^2}=2{\log }_{x^2}\left(x^2-5x\right),$$

и неравенство принимает вид

$$2{\log }_{x^2}\left(x^2-5x\right)⩽1.$$

Внесём коэффициент $2$ под знак логарифма по свойству $k{\log }_{a}b={\log }_a{b}^k$, а единицу запишем как $1={\log }_{x^2}{x}^2$. Перенесём всё влево и воспользуемся свойством разности логарифмов ${\log }_{a}u-{\log }_{a}v={\log }_a\frac{u}{v}$:

$${\log }_{x^2}{\left(x^2-5x\right)}^2-{\log }_{x^2}{x}^2⩽0\iff {\log }_{x^2}\frac{{\left(x^2-5x\right)}^2}{x^2}⩽0.$$

Упростим аргумент. Так как $x^2-5x=x(x-5)$ и $x\ne 0$,

$$\frac{{\left(x^2-5x\right)}^2}{x^2}=\frac{x^2(x-5{)}^2}{x^2}=(x-5{)}^2.$$

Получаем неравенство

$${\log }_{x^2}(x-5{)}^2⩽0.$$

Применим метод рационализации для логарифма с переменным основанием: при $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$ знак ${\log }_{a}b$ совпадает со знаком $(a-1)(b-1)$. Действительно, при $a>1$ логарифм положителен ровно тогда, когда $b>1$, а при $0<a<1$ — ровно тогда, когда $b<1$; в обоих случаях это условие $(a-1)(b-1)>0$, а ${\log }_{a}b=0$ ровно при $b=1$. На ОДЗ $a=x^2>0$, $x^2\ne 1$, а $b=(x-5{)}^2>0$, так как $x=5$ в ОДЗ не входит. Поэтому на ОДЗ неравенство равносильно

$$\left(x^2-1\right)\left((x-5{)}^2-1\right)⩽0.$$

Разложим обе скобки по формуле разности квадратов:

$$x^2-1=(x-1)(x+1),(x-5{)}^2-1=(x-5-1)(x-5+1)=(x-6)(x-4).$$

$$(x+1)(x-1)(x-4)(x-6)⩽0.$$

Решим методом интервалов. Все точки $-1$, $1$, $4$, $6$ закрашиваем: неравенство нестрогое, знаменателя нет. При $x>6$ все множители положительны, при переходе через каждую точку знак меняется.

Получаем $x\in [-1;1]\cup [4;6]$.

Пересечём с ОДЗ $(-\infty ;-1)\cup (-1;0)\cup (5;+\infty )$. Из отрезка $[-1;1]$ в ОДЗ попадает только промежуток $(-1;0)$: точки $-1$ и $0$ исключены, а промежуток $(0;1]$ лежит вне ОДЗ. Из отрезка $[4;6]$ остаётся $(5;6]$.

Ответ: $(-1;0)\cup (5;6]$.