ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Знаменатели не должны обращаться в ноль: $3^x\ne 5$ и $3^x\ne 9$, то есть $x\ne {\log }_{3}5$ и $x\ne 2$.

Сделаем замену $t=3^x$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$. Кроме того, $9^x={\left(3^2\right)}^x={\left(3^x\right)}^2=t^2$. Неравенство примет вид

$$\frac{t^2-6t+4}{t-5}+\frac{6t-51}{t-9}⩽t+5,t>0,t\ne 5,t\ne 9.$$

Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём их к общему знаменателю $(t-5)(t-9)$:

$$\frac{\left(t^2-6t+4\right)(t-9)+(6t-51)(t-5)-(t+5)(t-5)(t-9)}{(t-5)(t-9)}⩽0.$$

Раскроем скобки в числителе по отдельности:

$$\left(t^2-6t+4\right)(t-9)=t^3-9t^2-6t^2+54t+4t-36=t^3-15t^2+58t-36,$$

$$(6t-51)(t-5)=6t^2-30t-51t+255=6t^2-81t+255.$$

В последнем произведении сначала применим формулу разности квадратов $(t+5)(t-5)=t^2-25$:

$$(t+5)(t-5)(t-9)=\left(t^2-25\right)(t-9)=t^3-9t^2-25t+225.$$

Сложим первые два выражения и вычтем третье:

$$t^3-15t^2+58t-36+6t^2-81t+255-t^3+9t^2+25t-225=2t-6=2(t-3).$$

Слагаемые с $t^3$ и $t^2$ взаимно уничтожились, и неравенство стало гораздо проще:

$$\frac{2(t-3)}{(t-5)(t-9)}⩽0.$$

Решим его методом интервалов. Нуль числителя $t=3$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нули знаменателя $t=5$ и $t=9$ выкалываем. При $t>9$ все множители положительны, дробь положительна; при переходе через каждую из точек знак меняется.

Получаем $t⩽3$ или $5<t<9$. С учётом условия $t>0$:

$$[\begin{array}{l}0<t⩽3,\\ 5<t<9.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Условие $3^x>0$ выполнено при всех $x$. Представим числа в виде степеней тройки: $3=3^1$, $9=3^2$, $5=3^{{\log }_{3}5}$. Функция $y=3^x$ возрастает, так как $3>1$, поэтому знаки неравенств сохраняются:

$$[\begin{array}{l}{3}^x⩽3^1,\\ 3^{{\log }_{3}5}<3^x<3^2\end{array}\iff [\begin{array}{l}x⩽1,\\ {\log }_{3}5<x<2.\end{array}$$

Сравним числа: из $3<5<9$ следует $1<{\log }_{3}5<2$, поэтому промежутки не пересекаются и расположены так:

Ответ: $(-\infty ;1]\cup \left({\log }_{3}5;2\right)$.