ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов положительны, знаменатель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-5x>0,\\ x^2>0,\\ {\log }_5{x}^2\ne 0.\end{array}$$

Первое условие: $x(x-5)>0$. Это квадратичное неравенство, ветви параболы направлены вверх, корни $0$ и $5$, поэтому $x<0$ или $x>5$. Второе условие: $x\ne 0$. Третье: ${\log }_5{x}^2\ne 0={\log }_{5}1$, то есть $x^2\ne 1$, $x\ne \pm 1$. Итак,

$$x\in (-\infty ;-1)\cup (-1;0)\cup (5;+\infty ).$$

Перейдём к новому основанию по формуле $\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_{a}c}={\log }_{c}b$, которая верна при $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$, $c>0$, $c\ne 1$. На ОДЗ $c=x^2>0$, $x^2\ne 1$ и $b=x^2-5x>0$, поэтому

$$\frac{2{\log }_5\left(x^2-5x\right)}{{\log }_5{x}^2}=2{\log }_{x^2}\left(x^2-5x\right),$$

и неравенство принимает вид

$$2{\log }_{x^2}\left(x^2-5x\right)⩽1.$$

Внесём коэффициент $2$ под знак логарифма по свойству $k{\log }_{a}b={\log }_a{b}^k$, а единицу запишем как $1={\log }_{x^2}{x}^2$. Перенесём всё влево и воспользуемся свойством разности логарифмов ${\log }_{a}u-{\log }_{a}v={\log }_a\frac{u}{v}$:

$${\log }_{x^2}{\left(x^2-5x\right)}^2-{\log }_{x^2}{x}^2⩽0\iff {\log }_{x^2}\frac{{\left(x^2-5x\right)}^2}{x^2}⩽0.$$

Упростим аргумент. Так как $x^2-5x=x(x-5)$ и $x\ne 0$,

$$\frac{{\left(x^2-5x\right)}^2}{x^2}=\frac{x^2(x-5{)}^2}{x^2}=(x-5{)}^2.$$

Получаем неравенство

$${\log }_{x^2}(x-5{)}^2⩽0.$$

Применим метод рационализации для логарифма с переменным основанием: при $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$ знак ${\log }_{a}b$ совпадает со знаком $(a-1)(b-1)$. Действительно, при $a>1$ логарифм положителен ровно тогда, когда $b>1$, а при $0<a<1$ — ровно тогда, когда $b<1$; в обоих случаях это условие $(a-1)(b-1)>0$, а ${\log }_{a}b=0$ ровно при $b=1$. На ОДЗ $a=x^2>0$, $x^2\ne 1$, а $b=(x-5{)}^2>0$, так как $x=5$ в ОДЗ не входит. Поэтому на ОДЗ неравенство равносильно

$$\left(x^2-1\right)\left((x-5{)}^2-1\right)⩽0.$$

Разложим обе скобки по формуле разности квадратов:

$$x^2-1=(x-1)(x+1),(x-5{)}^2-1=(x-5-1)(x-5+1)=(x-6)(x-4).$$

$$(x+1)(x-1)(x-4)(x-6)⩽0.$$

Решим методом интервалов. Все точки $-1$, $1$, $4$, $6$ закрашиваем: неравенство нестрогое, знаменателя нет. При $x>6$ все множители положительны, при переходе через каждую точку знак меняется.

Получаем $x\in [-1;1]\cup [4;6]$.

Пересечём с ОДЗ $(-\infty ;-1)\cup (-1;0)\cup (5;+\infty )$. Из отрезка $[-1;1]$ в ОДЗ попадает только промежуток $(-1;0)$: точки $-1$ и $0$ исключены, а промежуток $(0;1]$ лежит вне ОДЗ. Из отрезка $[4;6]$ остаётся $(5;6]$.

Ответ: $(-1;0)\cup (5;6]$.