ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны, знаменатель не должен обращаться в ноль:

$$\{\begin{array}{l}3x+25>0,\\ x+7>0,\\ x^4-81\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>-\frac{25}{3},\\ x>-7,\\ x\ne \pm 3.\end{array}$$

Так как $-\frac{25}{3}<-\frac{21}{3}=-7$, из $x>-7$ следует и $x>-\frac{25}{3}$. Поэтому ОДЗ: $x>-7$, $x\ne \pm 3$.

Разложим знаменатель на множители, дважды применив формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$$x^4-81=\left(x^2-9\right)\left(x^2+9\right)=(x-3)(x+3)\left(x^2+9\right).$$

Множитель $x^2+9⩾9>0$ при любом $x$. Умножим обе части неравенства на это положительное число — знак неравенства сохранится:

$$\frac{{\log }_3(3x+25)-{\log }_{\sqrt{3}}(x+7)}{(x-3)(x+3)}⩾0.$$

Приведём логарифмы к одному основанию. По свойствам ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$ и $k{\log }_{a}b={\log }_a{b}^k$ (при $b>0$):

$${\log }_{\sqrt{3}}(x+7)={\log }_{3^{\frac{1}{2}}}(x+7)=2{\log }_3(x+7)={\log }_3(x+7{)}^2.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{{\log }_3(3x+25)-{\log }_3(x+7{)}^2}{(x-3)(x+3)}⩾0.$$

Функция $y={\log }_{3}t$ возрастает, так как основание $3>1$. Поэтому при $u>0$, $v>0$ разность ${\log }_{3}u-{\log }_{3}v$ имеет тот же знак, что и разность $u-v$: она положительна при $u>v$, равна нулю при $u=v$ и отрицательна при $u<v$. На ОДЗ заменим числитель на выражение того же знака (метод рационализации) — получим равносильное на ОДЗ неравенство:

$$\frac{3x+25-(x+7{)}^2}{(x-3)(x+3)}⩾0.$$

Раскроем квадрат суммы и упростим числитель:

$$3x+25-\left(x^2+14x+49\right)=-x^2-11x-24=-\left(x^2+11x+24\right).$$

Корни трёхчлена $x^2+11x+24$ найдём по теореме, обратной теореме Виета: их сумма равна $-11$, произведение равно $24$. Подходят числа $-8$ и $-3$. Значит,

$$x^2+11x+24=(x+3)(x+8),$$

и неравенство принимает вид

$$\frac{-(x+3)(x+8)}{(x-3)(x+3)}⩾0.$$

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$$\frac{(x+3)(x+8)}{(x-3)(x+3)}⩽0.$$

Решим его методом интервалов. Нули числителя: $x=-8$ и $x=-3$; нули знаменателя: $x=-3$ и $x=3$. Неравенство нестрогое, поэтому нуль числителя $-8$ закрашиваем, а нули знаменателя выкалываем. Точка $-3$ — нуль и числителя, и знаменателя, при $x=-3$ дробь не определена, поэтому её тоже выкалываем.

При $x>3$ все множители положительны, дробь положительна. При переходе через $3$ и $-8$ знак меняется. Множитель $x+3$ входит в дробь дважды (в числитель и в знаменатель), поэтому при переходе через $-3$ знак не меняется.

Получаем $x\in [-8;-3)\cup (-3;3)$.

Пересечём это множество с ОДЗ: точки $\pm 3$ уже выколоты, остаётся учесть условие $x>-7$. Так как $-8<-7$, от промежутка $[-8;-3)$ остаётся $(-7;-3)$, а промежуток $(-3;3)$ входит в ОДЗ целиком.

Ответ: $(-7;-3)\cup (-3;3)$.