ЕГЭ по профильной математике 2027 Как решать задание №14 — уравнения

Разбор — 2 балла

а) В уравнении есть квадратный корень, поэтому оно имеет смысл только при неотрицательном подкоренном выражении. Выражение во второй скобке определено при всех $x$. Найдём ОДЗ:

$$16-25x^2⩾0\iff x^2⩽\frac{16}{25}\iff -\frac{4}{5}⩽x⩽\frac{4}{5}.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл. Значит, уравнение равносильно системе:

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}16-25x^2=0,\\ 9^{3x+2}-163\cdot 27^x+2=0,\end{array}\\ -\frac{4}{5}⩽x⩽\frac{4}{5}.\end{array}$$

Решим первое уравнение совокупности:

$$16-25x^2=0\iff x^2=\frac{16}{25}\iff x=\pm \frac{4}{5}.$$

Оба значения лежат на концах промежутка ОДЗ, то есть удовлетворяют ей.

Во втором уравнении приведём все степени к основанию 3. По свойствам степени $9^{3x+2}=9^2\cdot 9^{3x}=81\cdot {\left(3^2\right)}^{3x}=81\cdot {\left(3^{3x}\right)}^2$ и $27^x={\left(3^3\right)}^x=3^{3x}$. Уравнение принимает вид

$$81\cdot {\left(3^{3x}\right)}^2-163\cdot 3^{3x}+2=0.$$

Сделаем замену $t=3^{3x}$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$. Получаем квадратное уравнение

$$81t^2-163t+2=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=163^2-4\cdot 81\cdot 2=26569-648=25921=161^2.$$

Тогда

$$t_1=\frac{163-161}{162}=\frac{2}{162}=\frac{1}{81},t_2=\frac{163+161}{162}=\frac{324}{162}=2.$$

Оба корня положительны, поэтому оба годятся. Сделаем обратную замену.

Если $t=\frac{1}{81}$, то $3^{3x}=3^{-4}$. Функция $y=3^u$ монотонна, поэтому степени с одинаковым основанием равны только при равных показателях: $3x=-4$, $x=-\frac{4}{3}$.

Если $t=2$, то $3^{3x}=2$. По определению логарифма $3x={\log }_{3}2$, откуда $x=\frac{1}{3}{\log }_{3}2$.

Проверим, попадают ли эти значения в ОДЗ. Сравним $-\frac{4}{3}$ с левым концом промежутка $-\frac{4}{5}$, приведя дроби к знаменателю 15:

$$-\frac{4}{3}=-\frac{20}{15}<-\frac{12}{15}=-\frac{4}{5},$$

значит, $x=-\frac{4}{3}$ не входит в ОДЗ и корнем не является.

Логарифм по основанию $3>1$ возрастает, поэтому ${\log }_{3}1<{\log }_{3}2<{\log }_{3}3$, то есть $0<{\log }_{3}2<1$. Тогда

$$0<\frac{1}{3}{\log }_{3}2<\frac{1}{3}<\frac{4}{5},$$

и этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Итак, корни уравнения: $-\frac{4}{5}$, $\frac{4}{5}$, $\frac{1}{3}{\log }_{3}2$.

б) Сравним каждый корень с концами отрезка $[0,4;4]$.

Корень $-\frac{4}{5}=-0,8$ отрицателен, поэтому левее отрезка и не подходит.

Корень $\frac{4}{5}=0,8$ подходит, так как $0,4⩽0,8⩽4$.

Для корня $\frac{1}{3}{\log }_{3}2$ уже получена оценка $\frac{1}{3}{\log }_{3}2<\frac{1}{3}$, а $\frac{1}{3}<\frac{2}{5}=0,4$. Значит, этот корень меньше $0,4$ и на отрезок не попадает.

Ответ: а) $\pm \frac{4}{5}$; $\frac{1}{3}{\log }_{3}2$; б) $\frac{4}{5}$.

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$. Косинус разности распишем по формуле $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$:

$$\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=\cos x\cos \frac{\pi }{6}+\sin x\sin \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x.$$

Подставим оба выражения в уравнение:

$$2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x\right)-2\sqrt{3}\cos x=0\iff \sqrt{3}\cos x+\sin x-2\sqrt{3}\cos x=0\iff \sin x-\sqrt{3}\cos x=0.$$

Получилось однородное уравнение первой степени. Покажем, что на его решениях $\cos x\ne 0$. Если $\cos x=0$, то из уравнения и $\sin x=0$, но синус и косинус одного угла не могут одновременно равняться нулю, так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Поэтому деление обеих частей на $\cos x$ — равносильный переход:

$$\mathrm{tg}x=\sqrt{3}\iff x=\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-\frac{9\pi }{2};-3\pi \right]$ короче $2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $-\frac{9\pi }{2}=-4\pi -\frac{\pi }{2}$ изображается нижней точкой окружности, конец $-3\pi =-4\pi +\pi$ — левой точкой. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим IV, I и II четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{3}+\pi k$ даёт на окружности две диаметрально противоположные точки: в I четверти (как $\frac{\pi }{3}$) и в III четверти (как $\frac{4\pi }{3}$). На выделенную дугу попадает только точка I четверти.

Ей соответствует число $-4\pi +\frac{\pi }{3}=-\frac{11\pi }{3}$. Проверим соседние значения серии: $-\frac{11\pi }{3}-\pi =-\frac{14\pi }{3}=-\frac{28\pi }{6}<-\frac{27\pi }{6}=-\frac{9\pi }{2}$ и $-\frac{11\pi }{3}+\pi =-\frac{8\pi }{3}>-3\pi$ — оба вне отрезка.

Ответ: а) $\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{11\pi }{3}$.

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

По формуле приведения $\cos \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)=\sin x$: угол $\frac{3\pi }{2}$ отсчитывается от вертикальной оси, поэтому косинус меняется на синус, а при малых $x>0$ угол $\frac{3\pi }{2}+x$ лежит в IV четверти, где косинус положителен. Значит, ${\cos }^2\left(\frac{3\pi }{2}+x\right)={\sin }^{2}x$. По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$.

Уравнение принимает вид

$$2\sqrt{3}{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x=0.$$

Вынесем общий множитель $2\sin x$:

$$2\sin x\left(\sqrt{3}\sin x-\cos x\right)=0\iff [\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sqrt{3}\sin x-\cos x=0.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\pi n,n\in \mathbb{Z}$.

Второе уравнение однородное первой степени. Если $\sin x=0$, то из него и $\cos x=0$, что невозможно, так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Значит, на решениях второго уравнения $\sin x\ne 0$, и обе части можно разделить на $\sin x$:

$$\sqrt{3}-\mathrm{ctg}x=0\iff \mathrm{ctg}x=\sqrt{3}\iff x=\frac{\pi }{6}+\pi m,m\in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни с помощью двойных неравенств: подставим каждую серию в условие $\frac{3\pi }{2}⩽x⩽3\pi$ и найдём целые значения параметра.

Для серии $x=\pi n$ разделим неравенство на $\pi >0$:

$$\frac{3}{2}⩽n⩽3\Rightarrow n=2;3\Rightarrow x=2\pi ;3\pi .$$

Для серии $x=\frac{\pi }{6}+\pi m$ разделим на $\pi$ и вычтем $\frac{1}{6}$:

$$\frac{3}{2}⩽\frac{1}{6}+m⩽3\iff \frac{4}{3}⩽m⩽\frac{17}{6}\Rightarrow m=2\Rightarrow x=\frac{\pi }{6}+2\pi =\frac{13\pi }{6}.$$

Ответ: а) $\pi n,n\in \mathbb{Z}$; $\frac{\pi }{6}+\pi m,m\in \mathbb{Z}$; б) $2\pi$; $\frac{13\pi }{6}$; $3\pi$.