ЕГЭ по профильной математике 2027 Как решать задание №13 — экономика

Разбор — 1 балл

Пусть кредит взят на $n$ лет ($n$ — целое число), $S=5$ млн рублей. По условию в июле каждого года долг уменьшается на одну и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года, а за $n$ лет гасится полностью — значит, каждый год долг уменьшается на $\frac{S}{n}$. Поэтому перед январским начислением в $k$-м году долг равен $\frac{n-k+1}{n}S$.

Составим таблицу изменения долга (года́ нумеруем по порядку, так как конкретные даты в условии не указаны):

$$\begin{array}{lccc}\text{Год}& \text{Долг}& \text{Проценты}& \text{Платёж}\\ \text{1-й}& S& 0,2S& 0,2S+\frac{S}{n}\\ \text{2-й}& \frac{n-1}{n}S& 0,2\cdot \frac{n-1}{n}S& 0,2\cdot \frac{n-1}{n}S+\frac{S}{n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \text{n-й}& \frac{S}{n}& 0,2\cdot \frac{S}{n}& 0,2\cdot \frac{S}{n}+\frac{S}{n}\end{array}$$

В столбце «Долг» стоит сумма долга перед январским начислением, проценты — это $0,2$ от неё, а платёж — проценты плюс постоянная часть основного долга $\frac{S}{n}$.

Сложим все платежи. Часть $\frac{S}{n}$ входит в платёж $n$ раз и в сумме даёт $S$. Проценты по годам равны $0,2S,0,2S\cdot \frac{n-1}{n},\dots ,0,2S\cdot \frac{1}{n}$ — это убывающая арифметическая прогрессия, сумма которой равна среднему первого и последнего члена, умноженному на число членов:

$$0,2S\cdot \frac{1+\frac{1}{n}}{2}\cdot n=0,2S\cdot \frac{n+1}{2}.$$

Значит, общая сумма выплат равна

$$S+0,2S\cdot \frac{n+1}{2}=S+0,1S(n+1).$$

По условию эта сумма равна $7,5$ млн рублей, а $S=5$ млн рублей:

$$5+0,1\cdot 5\cdot (n+1)=7,5,$$

$$0,5(n+1)=2,5,$$

$$n+1=5,n=4.$$

Ответ: $4$.

Разбор — 1 балл

Пусть $S$ — сумма кредита в рублях, а $x$ — размер каждого из четырёх одинаковых платежей, которые вносятся в 2021, 2022, 2023 и 2024 годах. Поскольку платежей ровно четыре и все они равны, из общей суммы выплат сразу находим платёж:

$$4x=292820,x=73205\text{ рублей}.$$

Составим таблицу, которая показывает, как долг меняется от выдачи кредита до полного погашения (всё — в рублях):

$$\begin{array}{lcc}\text{Дата}& \text{Долг}& \text{Платёж}\\ \text{Июль 2020}& S& \\ \text{Январь 2021}& 1,1S& \\ \text{Июль 2021}& 1,1S-x& x\\ \text{Январь 2022}& 1,1(1,1S-x)& \\ \text{Июль 2022}& 1,1(1,1S-x)-x& x\\ \dots & \dots & \dots \\ \text{Июль 2024}& 0& x\end{array}$$

К июлю 2024 года долг должен стать нулевым. Распишем это условие, раскрывая вложенные скобки шаг за шагом:

$$1,1(1,1(1,1(1,1S-x)-x)-x)-x=0.$$

Каждый множитель $1,1$ умножает всё, что внутри скобок, поэтому

$$1,1^{4}S-1,1^{3}x-1,1^{2}x-1,1x-x=0.$$

Перенесём платежи в правую часть и вынесем $x$ за скобки:

$$1,1^{4}S=x\left(1,1^3+1,1^2+1,1+1\right).$$

Выразим $S$:

$$S=\frac{x\left(1,1^3+1,1^2+1,1+1\right)}{1,1^4}=\frac{4,641x}{1,4641}.$$

Заметим, что $73205:1,4641=50000$ (ведь $1,4641\cdot 50000=73205$), поэтому

$$S=4,641\cdot 50000=232050\text{ рублей}.$$

Ответ: $232050$.

Разбор — 1 балл

Обозначим сумму кредита $S=177120$ рублей, платёж за каждый из четырёх лет — $x$ рублей, а коэффициент роста долга после январского начисления — $k=1+\frac{25}{100}=\frac{5}{4}$ (все вычисления — в рублях).

Составим таблицу изменения долга по годам:

$$\begin{array}{lcccc}\text{Год}& \text{Долг до \%}& \text{Долг после \%}& \text{Платёж}& \text{Долг после платежа}\\ 1& S& kS& x& kS-x\\ 2& kS-x& k^{2}S-kx& x& k^{2}S-kx-x\\ \dots & \dots & \dots & x& \dots \\ 4& \dots & \dots & x& 0\end{array}$$

После четвёртого платежа долг равен нулю:

$$k^{4}S-k^{3}x-k^{2}x-kx-x=0\Rightarrow x\left(k^3+k^2+k+1\right)=k^{4}S.$$

Сумму в скобках свернём по формуле суммы геометрической прогрессии со знаменателем $k$:

$$k^3+k^2+k+1=\frac{k^4-1}{k-1}.$$

Тогда

$$x\cdot \frac{k^4-1}{k-1}=k^{4}S\Rightarrow x=S{k}^4\cdot \frac{k-1}{k^4-1}.$$

Подставим $k=\frac{5}{4}$, $S=177120$:

$$x=S\cdot \frac{5^4}{4^4}\cdot \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5^4}{4^4}-1}=S\cdot \frac{5^4}{4^4}\cdot \frac{4^3}{5^4-4^4}=177120\cdot \frac{625}{4\cdot 369}.$$

Так как $177120:1476=120$, получаем

$$x=120\cdot 625=75000\text{ рублей}.$$

Банку выплачивают такой платёж четыре раза, поэтому общая сумма выплат равна

$$4\cdot 75000=300000\text{ рублей}.$$

Ответ: $300000$.