а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
а) В уравнении есть квадратный корень, поэтому оно имеет смысл только при неотрицательном подкоренном выражении. Выражение во второй скобке определено при всех . Найдём ОДЗ:
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл. Значит, уравнение равносильно системе:
Решим первое уравнение совокупности:
Оба значения лежат на концах промежутка ОДЗ, то есть удовлетворяют ей.
Во втором уравнении приведём все степени к основанию 3. По свойствам степени и . Уравнение принимает вид
Сделаем замену . Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому . Получаем квадратное уравнение
Найдём дискриминант:
Тогда
Оба корня положительны, поэтому оба годятся. Сделаем обратную замену.
Если , то . Функция монотонна, поэтому степени с одинаковым основанием равны только при равных показателях: , .
Если , то . По определению логарифма , откуда .
Проверим, попадают ли эти значения в ОДЗ. Сравним с левым концом промежутка , приведя дроби к знаменателю 15:
значит, не входит в ОДЗ и корнем не является.
Логарифм по основанию возрастает, поэтому , то есть . Тогда
и этот корень удовлетворяет ОДЗ.
Итак, корни уравнения: , , .
б) Сравним каждый корень с концами отрезка .
Корень отрицателен, поэтому левее отрезка и не подходит.
Корень подходит, так как .
Для корня уже получена оценка , а . Значит, этот корень меньше и на отрезок не попадает.
Ответ: а) ; ; б) .