ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

По формуле приведения $\cos \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)=\sin x$: угол $\frac{3\pi }{2}$ отсчитывается от вертикальной оси, поэтому косинус меняется на синус, а при малых $x>0$ угол $\frac{3\pi }{2}+x$ лежит в IV четверти, где косинус положителен. Значит, ${\cos }^2\left(\frac{3\pi }{2}+x\right)={\sin }^{2}x$. По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$.

Уравнение принимает вид

$$2\sqrt{3}{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x=0.$$

Вынесем общий множитель $2\sin x$:

$$2\sin x\left(\sqrt{3}\sin x-\cos x\right)=0\iff [\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sqrt{3}\sin x-\cos x=0.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\pi n,n\in \mathbb{Z}$.

Второе уравнение однородное первой степени. Если $\sin x=0$, то из него и $\cos x=0$, что невозможно, так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Значит, на решениях второго уравнения $\sin x\ne 0$, и обе части можно разделить на $\sin x$:

$$\sqrt{3}-\mathrm{ctg}x=0\iff \mathrm{ctg}x=\sqrt{3}\iff x=\frac{\pi }{6}+\pi m,m\in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни с помощью двойных неравенств: подставим каждую серию в условие $\frac{3\pi }{2}⩽x⩽3\pi$ и найдём целые значения параметра.

Для серии $x=\pi n$ разделим неравенство на $\pi >0$:

$$\frac{3}{2}⩽n⩽3\Rightarrow n=2;3\Rightarrow x=2\pi ;3\pi .$$

Для серии $x=\frac{\pi }{6}+\pi m$ разделим на $\pi$ и вычтем $\frac{1}{6}$:

$$\frac{3}{2}⩽\frac{1}{6}+m⩽3\iff \frac{4}{3}⩽m⩽\frac{17}{6}\Rightarrow m=2\Rightarrow x=\frac{\pi }{6}+2\pi =\frac{13\pi }{6}.$$

Ответ: а) $\pi n,n\in \mathbb{Z}$; $\frac{\pi }{6}+\pi m,m\in \mathbb{Z}$; б) $2\pi$; $\frac{13\pi }{6}$; $3\pi$.