ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$. Косинус разности распишем по формуле $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$:

$$\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=\cos x\cos \frac{\pi }{6}+\sin x\sin \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x.$$

Подставим оба выражения в уравнение:

$$2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x\right)-2\sqrt{3}\cos x=0\iff \sqrt{3}\cos x+\sin x-2\sqrt{3}\cos x=0\iff \sin x-\sqrt{3}\cos x=0.$$

Получилось однородное уравнение первой степени. Покажем, что на его решениях $\cos x\ne 0$. Если $\cos x=0$, то из уравнения и $\sin x=0$, но синус и косинус одного угла не могут одновременно равняться нулю, так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Поэтому деление обеих частей на $\cos x$ — равносильный переход:

$$\mathrm{tg}x=\sqrt{3}\iff x=\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-\frac{9\pi }{2};-3\pi \right]$ короче $2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $-\frac{9\pi }{2}=-4\pi -\frac{\pi }{2}$ изображается нижней точкой окружности, конец $-3\pi =-4\pi +\pi$ — левой точкой. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим IV, I и II четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{3}+\pi k$ даёт на окружности две диаметрально противоположные точки: в I четверти (как $\frac{\pi }{3}$) и в III четверти (как $\frac{4\pi }{3}$). На выделенную дугу попадает только точка I четверти.

Ей соответствует число $-4\pi +\frac{\pi }{3}=-\frac{11\pi }{3}$. Проверим соседние значения серии: $-\frac{11\pi }{3}-\pi =-\frac{14\pi }{3}=-\frac{28\pi }{6}<-\frac{27\pi }{6}=-\frac{9\pi }{2}$ и $-\frac{11\pi }{3}+\pi =-\frac{8\pi }{3}>-3\pi$ — оба вне отрезка.

Ответ: а) $\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{11\pi }{3}$.