ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №13 — кредиты

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№13 Кредиты средняя 2024

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 177 120 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Разбор — 1 балл

Обозначим сумму кредита $S = 177120$ рублей, платёж за каждый из четырёх лет — $x$ рублей, а коэффициент роста долга после январского начисления — $k = 1 + \frac{25}{100} = \frac{5}{4}$ (все вычисления — в рублях).

Составим таблицу изменения долга по годам:

$Год 12 \dots 4 Долг до % S k S - x \dots \dots Долг после % k S k^{2} S - k x \dots \dots Платёж x x x x Долг после платежа k S - x k^{2} S - k x - x \dots 0$

После четвёртого платежа долг равен нулю:

$k^{4} S - k^{3} x - k^{2} x - k x - x = 0 \Rightarrow x (k^{3} + k^{2} + k + 1) = k^{4} S .$

Сумму в скобках свернём по формуле суммы геометрической прогрессии со знаменателем $k$ :

$k^{3} + k^{2} + k + 1 = \frac{k ^{4} - 1}{k - 1} .$

Тогда

$x \cdot \frac{k ^{4} - 1}{k - 1} = k^{4} S \Rightarrow x = S k^{4} \cdot \frac{k - 1}{k ^{4} - 1} .$

Подставим $k = \frac{5}{4}$ , $S = 177120$ :

$x = S \cdot \frac{5 ^{4}}{4 ^{4}} \cdot \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5 ^{4}}{4 ^{4}} - 1} = S \cdot \frac{5 ^{4}}{4 ^{4}} \cdot \frac{4 ^{3}}{5 ^{4} - 4 ^{4}} = 177120 \cdot \frac{625}{4 \cdot 369} .$

Так как $177120 : 1476 = 120$ , получаем

$x = 120 \cdot 625 = 75000 рублей .$

Банку выплачивают такой платёж четыре раза, поэтому общая сумма выплат равна

$4 \cdot 75000 = 300000 рублей .$

Ответ: $300000$ .

Ещё задания №13

13-0T94, средняя

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?

13-1A7W, средняя

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и банку будет выплачено 292820 рублей?

13-5XQ6, сложная

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– платежи в 2027 и 2028 годах должны быть равными;

– к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1254,4 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж 2027 года?

Как решать №13 Решать дальше №13