ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №13 — кредиты

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№13 Кредиты средняя

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и банку будет выплачено 292820 рублей?

Разбор — 1 балл

Пусть $S$ — сумма кредита в рублях, а $x$ — размер каждого из четырёх одинаковых платежей, которые вносятся в 2021, 2022, 2023 и 2024 годах. Поскольку платежей ровно четыре и все они равны, из общей суммы выплат сразу находим платёж:

$4 x = 292820, x = 73205 рублей .$

Составим таблицу, которая показывает, как долг меняется от выдачи кредита до полного погашения (всё — в рублях):

$Дата Июль 2020 Январь 2021 Июль 2021 Январь 2022 Июль 2022 \dots Июль 2024 Долг S 1, 1 S 1, 1 S - x 1, 1 (1, 1 S - x) 1, 1 (1, 1 S - x) - x \dots 0 Платёж x x \dots x$

К июлю 2024 года долг должен стать нулевым. Распишем это условие, раскрывая вложенные скобки шаг за шагом:

$1, 1 (1, 1 (1, 1 (1, 1 S - x) - x) - x) - x = 0.$

Каждый множитель $1, 1$ умножает всё, что внутри скобок, поэтому

$1, 1^{4} S - 1, 1^{3} x - 1, 1^{2} x - 1, 1 x - x = 0.$

Перенесём платежи в правую часть и вынесем $x$ за скобки:

$1, 1^{4} S = x (1, 1^{3} + 1, 1^{2} + 1, 1 + 1) .$

Выразим $S$ :

$S = \frac{x ( 1 , 1 ^{3} + 1 , 1 ^{2} + 1 , 1 + 1 )}{1 , 1 ^{4}} = \frac{4 , 641 x}{1 , 4641} .$

Заметим, что $73205 : 1, 4641 = 50000$ (ведь $1, 4641 \cdot 50000 = 73205$ ), поэтому

$S = 4, 641 \cdot 50000 = 232050 рублей .$

Ответ: $232050$ .

Ещё задания №13

13-0T94, средняя

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?

13-54CG, средняя

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 177 120 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

13-5XQ6, сложная

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– платежи в 2027 и 2028 годах должны быть равными;

– к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1254,4 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж 2027 года?

Как решать №13 Решать дальше №13