В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на… — 13 задание ЕГЭ профиль

№13 Кредиты средняя 2020

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?

Разбор — 1 балл

Пусть кредит взят на $n$ лет ( $n$ — целое число), $S = 5$ млн рублей. По условию в июле каждого года долг уменьшается на одну и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года, а за $n$ лет гасится полностью — значит, каждый год долг уменьшается на $\frac{S}{n}$ . Поэтому перед январским начислением в $k$ -м году долг равен $\frac{n - k + 1}{n} S$ .

Составим таблицу изменения долга (года́ нумеруем по порядку, так как конкретные даты в условии не указаны):

$Год 1- й 2- й \dots n- й Долг S \frac{n - 1}{n} S \dots \frac{S}{n} Проценты 0, 2 S 0, 2 \cdot \frac{n - 1}{n} S \dots 0, 2 \cdot \frac{S}{n} Платёж 0, 2 S + \frac{S}{n} 0, 2 \cdot \frac{n - 1}{n} S + \frac{S}{n} \dots 0, 2 \cdot \frac{S}{n} + \frac{S}{n}$

В столбце «Долг» стоит сумма долга перед январским начислением, проценты — это $0, 2$ от неё, а платёж — проценты плюс постоянная часть основного долга $\frac{S}{n}$ .

Сложим все платежи. Часть $\frac{S}{n}$ входит в платёж $n$ раз и в сумме даёт $S$ . Проценты по годам равны $0, 2 S, 0, 2 S \cdot \frac{n - 1}{n}, \dots, 0, 2 S \cdot \frac{1}{n}$ — это убывающая арифметическая прогрессия, сумма которой равна среднему первого и последнего члена, умноженному на число членов:

$0, 2 S \cdot \frac{1 + \frac{1}{n}}{2} \cdot n = 0, 2 S \cdot \frac{n + 1}{2} .$

Значит, общая сумма выплат равна

$S + 0, 2 S \cdot \frac{n + 1}{2} = S + 0, 1 S (n + 1) .$

По условию эта сумма равна $7, 5$ млн рублей, а $S = 5$ млн рублей:

$5 + 0, 1 \cdot 5 \cdot (n + 1) = 7, 5,$

$0, 5 (n + 1) = 2, 5,$

$n + 1 = 5, n = 4.$

Ответ: $4$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №13 — кредиты

Сообщить об ошибке

Ещё задания №13