ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — степени и корни

Представим корень $12$-й степени как степень: $\sqrt[12]{5}=5^{\frac{1}{12}}$. По свойствам $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ и $a^m:a^n=a^{m-n}$ упростим дробь внутри скобки:

$$\frac{5^{\frac{1}{3}}\cdot 5^{\frac{1}{4}}}{5^{\frac{1}{12}}}=5^{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{12}}.$$

Приведём показатели к общему знаменателю $12$:

$$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{12}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}-\frac{1}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}.$$

Значит, выражение в скобке равно $5^{\frac{1}{2}}$. Осталось возвести его в квадрат по свойству $(a^m{)}^n=a^{mn}$:

$${\left(5^{\frac{1}{2}}\right)}^2=5^1=5.$$

Ответ: $5$.