ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — тригонометрия

По основному тригонометрическому тождеству ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ найдём ${\sin }^2\alpha$:

$${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-{\left(\frac{2}{\sqrt{29}}\right)}^2=1-\frac{4}{29}=\frac{25}{29}.$$

Угол $\alpha \in \left(\frac{3\pi }{2};2\pi \right)$ лежит в четвёртой четверти, где синус отрицателен:

$$\sin \alpha =-\sqrt{\frac{25}{29}}=-\frac{5}{\sqrt{29}}.$$

По определению тангенса находим искомое значение:

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-\frac{5}{\sqrt{29}}}{\frac{2}{\sqrt{29}}}=-\frac{5}{2}=-2,5.$$

Ответ: $-2,5$.