ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — тригонометрия

Представим оба корня через $\sqrt{3}$: $\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$ и $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$. Вынесем общий множитель $2\sqrt{3}$:

$$\sqrt{48}{\cos }^2\frac{19\pi }{12}-\sqrt{12}=4\sqrt{3}{\cos }^2\frac{19\pi }{12}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}\left(2{\cos }^2\frac{19\pi }{12}-1\right).$$

По формуле косинуса двойного угла $2{\cos }^{2}x-1=\cos 2x$ при $x=\frac{19\pi }{12}$:

$$2{\cos }^2\frac{19\pi }{12}-1=\cos \frac{19\pi }{6}.$$

Приведём угол к табличному, вычтя полный оборот $2\pi =\frac{12\pi }{6}$:

$$\cos \frac{19\pi }{6}=\cos \left(\frac{19\pi }{6}-2\pi \right)=\cos \frac{7\pi }{6}=\cos \left(\pi +\frac{\pi }{6}\right)=-\cos \frac{\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Подставим это значение:

$$2\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-3.$$

Ответ: $-3$.