ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — тригонометрия

По определению тангенса $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$, откуда

$$\sin \alpha =\mathrm{tg}\alpha \cdot \cos \alpha =-2,5\cos \alpha .$$

Подставим это выражение вместо $\sin \alpha$ в числитель и знаменатель исходной дроби:

$$\frac{10\cos \alpha +4\sin \alpha +15}{2\sin \alpha +5\cos \alpha +3}=\frac{10\cos \alpha +4(-2,5\cos \alpha )+15}{2(-2,5\cos \alpha )+5\cos \alpha +3}.$$

Раскроем скобки: в числителе $10\cos \alpha -10\cos \alpha =0$, в знаменателе $-5\cos \alpha +5\cos \alpha =0$ — слагаемые с $\cos \alpha$ взаимно уничтожаются:

$$\frac{15}{3}=5.$$

Ответ: $5$.