ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — логарифмы

Обозначим ${\log }_{\sqrt{7}}49=x$. По определению логарифма это означает, что

$${\left(\sqrt{7}\right)}^x=49.$$

Запишем обе части как степени семёрки: $\sqrt{7}=7^{\frac{1}{2}}$ и $49=7^2$:

$${\left(7^{\frac{1}{2}}\right)}^x=7^2,7^{\frac{x}{2}}=7^2.$$

Степени с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели:

$$\frac{x}{2}=2,x=4.$$

Значит, ${\log }_{\sqrt{7}}49=4$, а искомое выражение — квадрат этого числа:

$${\log }_{\sqrt{7}}^{2}49=4^2=16.$$

Ответ: $16$.