ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — тригонометрия

По основному тригонометрическому тождеству ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ найдём ${\cos }^2\alpha$:

$${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)}^2=1-\frac{20}{25}=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}.$$

Угол $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ лежит во второй четверти, где косинус отрицателен, поэтому берём отрицательный корень:

$$\cos \alpha =-\sqrt{\frac{1}{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}.$$

По определению тангенса находим искомое значение:

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{-\frac{\sqrt{5}}{5}}=-2.$$

Ответ: $-2$.