ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — логарифмы

Запишем смешанное число как обычную дробь: $1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$. По свойству логарифма суммы ${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a(bc)$ объединим оба логарифма:

$${\log }_5\left(1\frac{1}{4}\right)+{\log }_{5}20={\log }_5\left(\frac{5}{4}\cdot 20\right).$$

Вычислим произведение под логарифмом:

$$\frac{5}{4}\cdot 20=25.$$

Так как $25=5^2$, по свойству ${\log }_a{a}^n=n$ получаем:

$${\log }_{5}25={\log }_5{5}^2=2.$$

Ответ: $2$.