ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — степени и корни

Представим показатель $2,5$ как обычную дробь, а квадратный корень — как степень с показателем $\frac{1}{2}$:

$$2,5=\frac{5}{2},\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}.$$

По свойству степени произведения $(ab{)}^n=a^n{b}^n$ раскроем числитель, а в знаменателе сложим показатели степеней $a$ по свойству $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$:

$$\frac{(4a{)}^{2,5}}{a^2\sqrt{a}}=\frac{4^{\frac{5}{2}}\cdot a^{\frac{5}{2}}}{a^2\cdot a^{\frac{1}{2}}}=\frac{4^{\frac{5}{2}}\cdot a^{\frac{5}{2}}}{a^{\frac{5}{2}}}.$$

Степени $a$ в числителе и знаменателе совпадают и сокращаются — это допустимо, так как при $a>0$ выражение $a^{\frac{5}{2}}$ не равно нулю. Остаётся вычислить

$$4^{\frac{5}{2}}={\left(\sqrt{4}\right)}^5=2^5=32.$$

Ответ: $32$.