ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — тригонометрия

Представим $196^{\circ }=16^{\circ }+180^{\circ }$ и воспользуемся формулой приведения $\cos (x+180^{\circ })=-\cos x$:

$$\cos 196^{\circ }=\cos (16^{\circ }+180^{\circ })=-\cos 16^{\circ },{\cos }^{2}196^{\circ }=(-\cos 16^{\circ }{)}^2={\cos }^{2}16^{\circ }.$$

Теперь знаменатель можно свернуть по основному тригонометрическому тождеству ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$:

$${\sin }^{2}16^{\circ }+{\cos }^{2}196^{\circ }={\sin }^{2}16^{\circ }+{\cos }^{2}16^{\circ }=1.$$

В числителе $\cos 60^{\circ }=0,5$, поэтому всё выражение равно:

$$\frac{8\cos 60^{\circ }}{{\sin }^{2}16^{\circ }+{\cos }^{2}196^{\circ }}=\frac{8\cdot 0,5}{1}=4.$$

Ответ: $4$.