ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — тригонометрия

По основному тригонометрическому тождеству ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha$. Подставим это в условие:

$$5(1-{\cos }^2\alpha )+13{\cos }^2\alpha =6,$$

$$5-5{\cos }^2\alpha +13{\cos }^2\alpha =6,$$

$$8{\cos }^2\alpha =1,{\cos }^2\alpha =\frac{1}{8}.$$

Тогда:

$${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}.$$

По определению тангенса ${\mathrm{tg}}^2\alpha =\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$:

$${\mathrm{tg}}^2\alpha =\frac{\frac{7}{8}}{\frac{1}{8}}=7.$$

Ответ: $7$.