ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — тригонометрия

Представим $105^{\circ }=90^{\circ }+15^{\circ }$ и воспользуемся формулой приведения $\cos (90^{\circ }+x)=-\sin x$:

$$\cos 105^{\circ }=\cos (90^{\circ }+15^{\circ })=-\sin 15^{\circ }.$$

Подставим это в выражение — знаки минус взаимно уничтожатся:

$$-8\cos 15^{\circ }\cos 105^{\circ }=-8\cos 15^{\circ }\cdot (-\sin 15^{\circ })=8\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }.$$

По формуле синуса двойного угла $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$:

$$8\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }=4\cdot \left(2\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }\right)=4\sin 30^{\circ }=4\cdot 0,5=2.$$

Ответ: $2$.