ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — тригонометрия

По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ вынесем $\sqrt{27}$ за скобку и свернём разность квадратов:

$$\sqrt{27}{\cos }^2\frac{19\pi }{12}-\sqrt{27}{\sin }^2\frac{19\pi }{12}=\sqrt{27}\left({\cos }^2\frac{19\pi }{12}-{\sin }^2\frac{19\pi }{12}\right)=\sqrt{27}\cos \frac{19\pi }{6}.$$

Так как косинус периодичен с периодом $2\pi =\frac{12\pi }{6}$, вычтем период из угла:

$$\cos \frac{19\pi }{6}=\cos \left(\frac{19\pi }{6}-2\pi \right)=\cos \frac{7\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Подставим это значение и упростим $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$:

$$\sqrt{27}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=3\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{9}{2}=-4,5.$$

Ответ: $-4,5$.