Найдите значение выражения (4a²-81)·(1/(2a-9)-1/(2a+9)) при a=√31+5 — 8 задание ЕГЭ профиль

№8 Степени и корни средняя 2025

Найдите значение выражения $(4 a^{2} - 81) \cdot (\frac{1}{2 a - 9} - \frac{1}{2 a + 9})$ при $a = 31 + 5.$

Разбор — 1 балл

Приведём выражение в скобке к общему знаменателю $(2 a - 9) (2 a + 9)$ :

$\frac{1}{2 a - 9} - \frac{1}{2 a + 9} = \frac{( 2 a + 9 ) - ( 2 a - 9 )}{( 2 a - 9 ) ( 2 a + 9 )} = \frac{18}{( 2 a - 9 ) ( 2 a + 9 )} .$

По формуле разности квадратов $(x - y) (x + y) = x^{2} - y^{2}$ с $x = 2 a$ , $y = 9$ :

$(2 a - 9) (2 a + 9) = (2 a)^{2} - 9^{2} = 4 a^{2} - 81.$

Подставим это в скобку и умножим на $(4 a^{2} - 81)$ :

$(4 a^{2} - 81) \cdot \frac{18}{4 a ^{2} - 81} = 18.$

Значение не зависит от конкретного $a$ (при $4 a^{2} - 81 \neq = 0$ ; для $a = 31 + 5 \approx 10, 57$ это условие выполняется).

Ответ: $18$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — степени и корни