ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — тригонометрия

Вынесем $5\sqrt{2}$ за скобку:

$$5\sqrt{2}{\cos }^2\frac{7\pi }{8}-5\sqrt{2}{\sin }^2\frac{7\pi }{8}=5\sqrt{2}\left({\cos }^2\frac{7\pi }{8}-{\sin }^2\frac{7\pi }{8}\right).$$

По формуле косинуса двойного угла $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$ при $\alpha =\frac{7\pi }{8}$:

$${\cos }^2\frac{7\pi }{8}-{\sin }^2\frac{7\pi }{8}=\cos \frac{7\pi }{4}.$$

Угол $\frac{7\pi }{4}=2\pi -\frac{\pi }{4}$ отличается от $-\frac{\pi }{4}$ на полный оборот, а косинус — чётная функция, поэтому $\cos \frac{7\pi }{4}=\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим:

$$5\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=5\cdot \frac{2}{2}=5.$$

Ответ: $5$.