ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — степени и корни

Разбор — 1 балл

По определению функции $h(t)=\sqrt[3]{t}+\sqrt[3]{t-10}$ подставим $t=5+x$ и $t=5-x$:

$$h(5+x)=\sqrt[3]{5+x}+\sqrt[3]{(5+x)-10}=\sqrt[3]{5+x}+\sqrt[3]{x-5},$$

$$h(5-x)=\sqrt[3]{5-x}+\sqrt[3]{(5-x)-10}=\sqrt[3]{5-x}+\sqrt[3]{-5-x}.$$

Сложим оба выражения:

$$h(5+x)+h(5-x)=\sqrt[3]{5+x}+\sqrt[3]{x-5}+\sqrt[3]{5-x}+\sqrt[3]{-5-x}.$$

Кубический корень — нечётная функция, то есть $\sqrt[3]{-t}=-\sqrt[3]{t}$ для любого $t$. Заметим, что $5-x=-(x-5)$, поэтому $\sqrt[3]{5-x}=-\sqrt[3]{x-5}$; а $-5-x=-(5+x)$, поэтому $\sqrt[3]{-5-x}=-\sqrt[3]{5+x}$.

Подставим это в сумму:

$$\sqrt[3]{5+x}+\sqrt[3]{x-5}-\sqrt[3]{x-5}-\sqrt[3]{5+x}=0.$$

Значение не зависит от $x$.

Ответ: $0$.