ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — степени и корни

Подкоренное выражение — квадрат разности: по формуле $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ при $a=x$, $b=2$ имеем $x^2-4x+4=(x-2{)}^2$. По свойству арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2}=|a|$:

$$\sqrt{x^2-4x+4}=\sqrt{(x-2{)}^2}=|x-2|.$$

Так как по условию $x⩽2$, разность $x-2$ неположительна, поэтому модуль раскрывается со знаком минус: $|x-2|=2-x$.

Подставим в исходное выражение:

$$x+\sqrt{x^2-4x+4}=x+(2-x)=2.$$

Значение не зависит от конкретного $x⩽2$.

Ответ: $2$.