ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — тригонометрия

Заметим, что $\sqrt{32}=\sqrt{4\cdot 8}=2\sqrt{8}$, поэтому можно вынести $\sqrt{8}$ за скобку:

$$\sqrt{8}-\sqrt{32}{\sin }^2\frac{15\pi }{8}=\sqrt{8}\left(1-2{\sin }^2\frac{15\pi }{8}\right).$$

По формуле косинуса двойного угла $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$ при $\alpha =\frac{15\pi }{8}$:

$$1-2{\sin }^2\frac{15\pi }{8}=\cos \frac{15\pi }{4}.$$

Угол $\frac{15\pi }{4}=4\pi -\frac{\pi }{4}$ отличается от $-\frac{\pi }{4}$ на два полных оборота, а косинус — чётная функция, поэтому $\cos \frac{15\pi }{4}=\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим, учитывая, что $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$:

$$\sqrt{8}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2\cdot 2}{2}=2.$$

Ответ: $2$.