ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — степени и корни

Разбор — 1 балл

Переведём смешанные числа в обычные дроби: $2\frac{2}{5}=\frac{12}{5}$, $5\frac{2}{5}=\frac{27}{5}$. Тогда

$$\left(\sqrt{2\frac{2}{5}}-\sqrt{5\frac{2}{5}}\right):\sqrt{\frac{3}{125}}=\left(\sqrt{\frac{12}{5}}-\sqrt{\frac{27}{5}}\right):\sqrt{\frac{3}{125}}.$$

По свойству корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ запишем каждый корень как частное корней:

$$\sqrt{\frac{12}{5}}=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}},\sqrt{\frac{27}{5}}=\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{5}}.$$

Вынесем множители из-под корней: $12=4\cdot 3$, поэтому $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$; $27=9\cdot 3$, поэтому $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$. Разность в скобке равна

$$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}}-\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{3}-3\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{5}}.$$

Теперь разделим эту разность на $\sqrt{\frac{3}{125}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{125}}$, то есть умножим на обратную дробь:

$$\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{5}}:\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{125}}=\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{125}}{\sqrt{3}}.$$

Множители $\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе сокращаются. Так как $125=25\cdot 5$, то $\sqrt{125}=5\sqrt{5}$. Получаем

$$-\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot 5\sqrt{5}=-5\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=-5.$$

Ответ: $-5$.