ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — тригонометрия

По формуле синуса двойного угла $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ получаем $\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{2}\sin 2\alpha$. При $\alpha =\frac{7\pi }{12}$:

$$5\sin \frac{7\pi }{12}\cdot \cos \frac{7\pi }{12}=5\cdot \frac{1}{2}\sin \frac{14\pi }{12}=\frac{5}{2}\sin \frac{7\pi }{6}.$$

Угол $\frac{7\pi }{6}=\pi +\frac{\pi }{6}$ лежит в третьей четверти, где синус отрицателен, поэтому $\sin \left(\pi +\frac{\pi }{6}\right)=-\sin \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{2}$.

Подставим:

$$\frac{5}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{5}{4}=-1,25.$$

Ответ: $-1,25$.