Найдите значение выражения (1-log₅ 15)(1-log₃ 15) — 8 задание ЕГЭ профиль

№8 Логарифмы средняя 2026

Найдите значение выражения $(1 - lo g_{5} 15) (1 - lo g_{3} 15) .$

Разбор — 1 балл

Распишем $15 = 5 \cdot 3$ и воспользуемся свойством логарифма произведения $lo g_{a} (b c) = lo g_{a} b + lo g_{a} c$ :

$lo g_{5} 15 = lo g_{5} (5 \cdot 3) = lo g_{5} 5 + lo g_{5} 3 = 1 + lo g_{5} 3,$

$lo g_{3} 15 = lo g_{3} (3 \cdot 5) = lo g_{3} 3 + lo g_{3} 5 = 1 + lo g_{3} 5.$

Подставим это в скобки исходного выражения:

$1 - lo g_{5} 15 = 1 - (1 + lo g_{5} 3) = - lo g_{5} 3, 1 - lo g_{3} 15 = 1 - (1 + lo g_{3} 5) = - lo g_{3} 5.$

Значение всего выражения равно

$(- lo g_{5} 3) \cdot (- lo g_{3} 5) = lo g_{5} 3 \cdot lo g_{3} 5.$

По свойству логарифмов $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1$ (оно следует из формулы перехода к новому основанию, по которой $lo g_{b} a = \frac{1}{lo g _{a} b}$ ), поэтому $lo g_{5} 3 \cdot lo g_{3} 5 = 1$ .

Ответ: $1$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — логарифмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №8