ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — логарифмы

По формуле перехода к новому основанию ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$ дробь $\frac{{\log }_{3}5}{{\log }_{3}7}$ равна логарифму числа $5$ по основанию $7$ (переход от основания $3$ к основанию $7$):

$$\frac{{\log }_{3}5}{{\log }_{3}7}={\log }_{7}5.$$

Выражение принимает вид ${\log }_{7}5+{\log }_{7}0,2$. Заметим, что $0,2=\frac{1}{5}$. По свойству логарифма суммы ${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a(bc)$:

$${\log }_{7}5+{\log }_7\frac{1}{5}={\log }_7\left(5\cdot \frac{1}{5}\right)={\log }_{7}1.$$

Логарифм единицы по любому основанию равен нулю, значит ${\log }_{7}1=0$.

Ответ: $0$.