ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — тригонометрия

Вынесем общий множитель $3\sqrt{2}$:

$$3\sqrt{2}{\cos }^2\frac{9\pi }{8}-3\sqrt{2}{\sin }^2\frac{9\pi }{8}=3\sqrt{2}\left({\cos }^2\frac{9\pi }{8}-{\sin }^2\frac{9\pi }{8}\right).$$

По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ скобка равна $\cos \frac{9\pi }{4}$:

$$3\sqrt{2}\left({\cos }^2\frac{9\pi }{8}-{\sin }^2\frac{9\pi }{8}\right)=3\sqrt{2}\cos \frac{9\pi }{4}.$$

Представим угол как $\frac{9\pi }{4}=2\pi +\frac{\pi }{4}$. Косинус периодичен с периодом $2\pi$, поэтому $\cos \frac{9\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим и вычислим:

$$3\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3\cdot \frac{2}{2}=3.$$

Ответ: $3$.