ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — тригонометрия

По формуле косинуса двойного угла $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$ при $\alpha =71^{\circ }$:

$$\cos 142^{\circ }={\cos }^{2}71^{\circ }-{\sin }^{2}71^{\circ }.$$

Значит числитель — это противоположное выражение: ${\sin }^{2}71^{\circ }-{\cos }^{2}71^{\circ }=-\cos 142^{\circ }$. Подставим в дробь:

$$\frac{8\left({\sin }^{2}71^{\circ }-{\cos }^{2}71^{\circ }\right)}{\cos 142^{\circ }}=\frac{8\cdot (-\cos 142^{\circ })}{\cos 142^{\circ }}=-8.$$

Ответ: $-8$.