ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — тригонометрия

Вынесем общий множитель $3\sqrt{3}$:

$$6\sqrt{3}{\cos }^2\frac{11\pi }{12}-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}\left(2{\cos }^2\frac{11\pi }{12}-1\right).$$

По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$ скобка равна $\cos \frac{11\pi }{6}$:

$$3\sqrt{3}\left(2{\cos }^2\frac{11\pi }{12}-1\right)=3\sqrt{3}\cos \frac{11\pi }{6}.$$

Представим угол как $\frac{11\pi }{6}=2\pi -\frac{\pi }{6}$. По формуле приведения $\cos (2\pi -\alpha )=\cos \alpha$:

$$\cos \frac{11\pi }{6}=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Подставим и вычислим:

$$3\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\cdot 3}{2}=\frac{9}{2}=4,5.$$

Ответ: $4,5$.