ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — тригонометрия

Заметим, что $\sqrt{300}=\sqrt{4\cdot 75}=2\sqrt{75}$. Вынесем $\sqrt{75}$ за скобку:

$$\sqrt{300}{\cos }^2\frac{19\pi }{12}-\sqrt{75}=2\sqrt{75}{\cos }^2\frac{19\pi }{12}-\sqrt{75}=\sqrt{75}\left(2{\cos }^2\frac{19\pi }{12}-1\right).$$

По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$ выражение в скобке равно $\cos \frac{19\pi }{6}$:

$$\sqrt{75}\left(2{\cos }^2\frac{19\pi }{12}-1\right)=\sqrt{75}\cos \frac{19\pi }{6}.$$

Угол $\frac{19\pi }{6}$ отличается от $\frac{7\pi }{6}$ на полный оборот $2\pi =\frac{12\pi }{6}$, поэтому $\cos \frac{19\pi }{6}=\cos \frac{7\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Запишем $\sqrt{75}=5\sqrt{3}$ и вычислим:

$$5\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{5\cdot 3}{2}=-\frac{15}{2}=-7,5.$$

Ответ: $-7,5$.