ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — тригонометрия

Применим формулы приведения к каждому слагаемому числителя. Угол $\pi -\beta$ лежит во второй четверти, где косинус меняет знак: $\cos (\pi -\beta )=-\cos \beta$. Угол $\frac{\pi }{2}+\beta$ переводит синус в косинус без смены знака: $\sin \left(\frac{\pi }{2}+\beta \right)=\cos \beta$.

Для знаменателя заметим, что $3\pi =\pi +2\pi$, а косинус периодичен с периодом $2\pi$, поэтому $\cos (\beta +3\pi )=\cos (\beta +\pi )=-\cos \beta$.

Подставим все три результата:

$$\frac{3\cos (\pi -\beta )+\sin \left(\frac{\pi }{2}+\beta \right)}{\cos (\beta +3\pi )}=\frac{3\cdot (-\cos \beta )+\cos \beta }{-\cos \beta }=\frac{-3\cos \beta +\cos \beta }{-\cos \beta }=\frac{-2\cos \beta }{-\cos \beta }.$$

Сократим на $-\cos \beta$ (при $\cos \beta \ne 0$):

$$\frac{-2\cos \beta }{-\cos \beta }=2.$$

Ответ: $2$.