ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — степени и корни

Представим корни как степени: $\sqrt[6]{243}=243^{\frac{1}{6}}$, $\sqrt[30]{243}=243^{\frac{1}{30}}$. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

$$6\cdot 243^{\frac{1}{6}}\cdot 243^{\frac{1}{30}}=6\cdot 243^{\frac{1}{6}+\frac{1}{30}}.$$

Приведём показатели к общему знаменателю: $\frac{1}{6}=\frac{5}{30}$, поэтому $\frac{5}{30}+\frac{1}{30}=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}$.

Так как $243=3^5$, получаем:

$$6\cdot 243^{\frac{1}{5}}=6\cdot {\left(3^5\right)}^{\frac{1}{5}}=6\cdot 3=18.$$

Ответ: $18$.